N*N 棋盘上可以放置的最大主教数

主教（Bishop）是象棋中一种走斜线的棋子，可以往任意斜方向走，但不能跨过其它棋子。

给定一个 N x N 的棋盘，假设所有主教都不攻击彼此，请计算最多可以放置多少个主教。

解法

由于主教可以攻击到斜线上所有的格子，因此我们需要将棋盘按斜线分成两种黑白相间的格子。

如下图所示，黑色格子组成一个斜线，白色格子组成一个斜线。

B W B W B W B W
W B W B W B W B
B W B W B W B W
W B W B W B W B
B W B W B W B W
W B W B W B W B
B W B W B W B W
W B W B W B W B

可以发现，位于黑色格子上的主教只能攻击到其他白色格子上，反之亦然。

因此，我们只需要计算黑色格子和白色格子上最多能够放置多少主教即可。最终答案为两种情况的主教数之和。

代码实现

def max_bishops(n: int) -> int:
    if n == 1:
        return 1
    # 计算黑色和白色格子分别能放多少主教
    black = n // 2
    white = n - black
    return black * (n - white) + white * (n - black)

# 测试代码
print(max_bishops(1))   # 1
print(max_bishops(2))   # 2
print(max_bishops(3))   # 4
print(max_bishops(8))   # 32

以上是使用 Python 语言实现的代码，时间复杂度为 O(1)，空间复杂度为 O(1)。