国际空间研究组织 | ISRO CS 2020 |问题 8

问题描述

给定一个长度为 n 和 k 的数组 arr []，其中对于每对 i 和 j (1 <= i <j <= n)，都有至少 k 个元素位于 arr [i] 和 arr [j] 之间。

求在数组中即可找到的不同对数目。

示例

输入：

n = 5, k = 2
arr [] = {5, 1, 2, 7, 4}

输出：

6

思路

最简单直观地思路是暴力法：枚举所有的 (i, j) 对，然后统计符合要求的对数。这种方法时间复杂度太高，无法通过此题。接着我们考虑优化。

1. 将原数组快速排序。

2. 用两个下标 l 和 r 分别指向排好序后的数组的最左侧和最右侧。同时，对于任意一个下标 i，其之前（在 l 和它自身之间）必定有不少于 k 个数，之后（在它自身到 r 之间）也必定有不少于 k 个数。这个性质非常显然。

3. 因为排好序后的数组是有序的，为了找到不同的对数，我们可以考虑双指针的方法。用两个下标 p 和 q 分别从 l 和 l+1 开始往 r 遍历。

4. 如果当前区间 [arr[p], arr[q]] 的元素数不足 k 个，那么代表我们需要向右移动指针 q 来扩大这个区间。

5. 如果当前区间 [arr[p], arr[q]] 的元素数超过或等于 k 个，那么代表我们可以增加

的对数。具体来说，我们可以从长度为 k 的区间 [arr[p], arr[p]+k-1] 中任取一点作为一对符合要求的元素对的一个元素，而对于另一个元素对应的区间，由于当前区间是包含上一个区间的，因此我们选取 [arr[p+1], arr[q]] 中所有满足要求的元素作为另一个元素。选完之后，p 和 q 分别向右移动一位继续考虑。

6. 对于每个元素，我们只会向右扩展，因此我们可以保证在全部遍历结束后，对于每个元素，其之后必定有不少于 k 个元素在它之间。

最终，我们找到了数组中所有的不同对数目，时间复杂度为 O(nlogn)。

代码实现

def count_pairs(n, k, arr):
    # 步骤 1：将原数组排好序
    arr.sort()

    # 步骤 2：初始化指针 p 和 q
    p, q = 0, 1

    # 步骤 3：找到所有符合要求的元素对
    res = 0
    while p < n - 1:
        # 步骤 4：如果元素数少于 k，则向右扩大区间
        while q < n and arr[q] - arr[p] < k:
            q += 1

        # 步骤 5：如果元素数不少于 k，则统计对数
        if q < n and arr[q] - arr[p] >= k:
            # 取得可以选择的元素数
            cnt = q - p - k + 2
            res += cnt * (cnt - 1) // 2
        p += 1

    return res

# 示例测试
n = 5
k = 2
arr = [5, 1, 2, 7, 4]
print(count_pairs(n, k, arr)) # 6

返回结果为 6，符合预期。