最大和使得恰好选择了一半的元素并且没有两个相邻的元素

在一个给定的数组中，找到一组元素，使得这组元素恰好选了数组长度的一半，并且这组元素中没有两个元素相邻，求这组元素中所有元素的和的最大值。

例如，给定数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]，结果应该是 27，因为最优的选择是 2, 4, 6, 8, 10。

思路

这是一道动态规划的题目。我们可以假设有两个数组 f 和 g，其中 f[i] 表示选取了前 i 个元素，并且以第 i 个元素结尾的子序列的和的最大值，g[i] 表示选取了前 i 个元素，并且不以第 i 个元素结尾的子序列的和的最大值。

对于 f[i]，我们可以有两种选择：选取第 i 个元素，或者不选取第 i 个元素。如果选择第 i 个元素，那么前一个元素必定不能选取，即 f[i] = g[i-2] + nums[i]；如果不选择第 i 个元素，那么直接继承前面的状态，即 f[i] = f[i-1]。综上，可以得到以下转移方程：

f[i] = max(f[i-1], g[i-2] + nums[i])

对于 g[i]，我们只需考虑前一个元素选或不选的情况，即 g[i] = max(f[i-1], g[i-1])。因为第 i 个元素不选的话，和选或不选前一个元素没有关系，所以直接继承前面的状态即可。

最终的答案即为 f[n-1]，其中 n 为数组长度。

代码

def max_sum(nums):
    n = len(nums)
    if n % 2 != 0:
        return 0
    
    f = [0] * n
    g = [0] * n

    f[0], g[0], f[1], g[1] = nums[0], 0, max(nums[0], nums[1]), nums[1]

    for i in range(2, n):
        f[i] = max(f[i-1], g[i-2] + nums[i])
        g[i] = max(f[i-1], g[i-1])

    return f[n-1]

复杂度分析

时间复杂度：O(n)。

空间复杂度：O(n)。