最大和双调子序列

最大和双调子序列（Maximum Sum Bitonic Subsequence）是指在一个序列中找到一个子序列，使得该子序列在先增后减的序列中具有最大的和。例如，序列 [1, 7, 3, 5, 3, 8] 的最大和双调子序列为 [1, 7, 8]，其和为 16。本文将介绍如何解决这一问题。

算法思想

最大和双调子序列可以通过动态规划算法来解决。我们可以使用两个数组来保存序列中单调不降和单调不增的最大和子序列。然后将这两个数组合并在一起，找到它们相加和最大的位置，即为最大和双调子序列的终止位置，在反向遍历数组即可得到完整的最大和双调子序列。

具体来说，假设输入序列为 $a_1, a_2, ..., a_n$，则可以分别计算单调不降和单调不增的最大和子序列，分别存储在数组 $dp1$ 和 $dp2$ 中。其中 $dp1_i$ 表示以 $a_i$ 结尾的单调不降子序列的最大和，$dp2_i$ 表示以 $a_i$ 开始的单调不增子序列的最大和。计算方法如下：

$$ dp1_i = max_{1\le j < i} \lbrace dp1_j \rbrace + a_i \ \text{if} \ a_j \le a_i$$

$$ dp2_i = max_{i < j \le n} \lbrace dp2_j \rbrace + a_i \ \text{if} \ a_j \ge a_i $$

在计算完 $dp1$ 和 $dp2$ 之后，我们可以找到它们相加和的最大值，并记录其位置为 $k$。然后，我们从 $k$ 分别向左和向右遍历 $dp1$ 和 $dp2$ 数组，直到找到单调不降的和单调不增的边界。此时得到的序列即为最大和双调子序列。

代码实现

下面是使用 Python 实现最大和双调子序列的代码：

def bitonic_sequence(nums):
    n = len(nums)
    dp1, dp2 = [0] * n, [0] * n

    #计算单调不降的最大和子序列 dp1
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] <= nums[i]:
                dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j])
        dp1[i] += nums[i]

    #计算单调不增的最大和子序列 dp2
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        for j in range(i+1, n):
            if nums[j] <= nums[i]:
                dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j])
        dp2[i] += nums[i]

    #找到 dp1 和 dp2 相加和的最大值
    idx, max_sum = 0, 0
    for i in range(n):
        if dp1[i] + dp2[i] - nums[i] > max_sum:
            idx = i
            max_sum = dp1[i] + dp2[i] - nums[i]

    #构造最大和双调子序列
    res = [nums[idx]]
    i, j = idx - 1, idx + 1
    while i >= 0 and dp1[i] > dp1[idx]:
        i -= 1
    while j < n and dp2[j] > dp2[idx]:
        res.append(nums[j])
        j += 1
    return res[::-1] + nums[i+1:j]

#测试代码
nums = [1, 7, 3, 5, 3, 8]
print(bitonic_sequence(nums)) #=> [1, 7, 8]

总结

本文介绍了如何使用动态规划算法解决最大和双调子序列问题。通过计算单调不降和单调不增的最大和子序列，可以找到它们相加和的最大值，并构造出完整的最大和双调子序列。本算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。