形成给定数组所需的 K 大小子数组的最小增量计数

问题描述

给定一个长度为 N 的数组 nums，每次操作可以将数组中的任意一个元素加一，花费为一。现在需要将数组 nums 转换为一个长度为 N 的数组 target。每次操作可以将数组中任意一个区间加一，花费为该区间中的元素个数。请问至少需要多少操作才能将 nums 转换成 target。

解题思路

将 nums 和 target 中每个位置上的数都作差，如果 nums[i] < target[i] 则需要将 nums[i] 加上一个区间使之达到 target[i] 的值，如果 nums[i] > target[i] 则需要将 nums[i] 减去一个区间使之达到 target[i] 的值。同时，我们并不关心需要加多少个区间或减多少个区间，我们只关心区间的长度。

假设我们确定了一个区间长度 k，那么对于区间 [i, i + k - 1]，如果 nums[i] < target[i]，那么将 nums[i] 加上 k 会让代价最小；如果 nums[i] > target[i]，那么将 nums[i] 减去 k 会让代价最小。因此，对于每个 k，我们可以分别计算将 nums 转换成 target 所需要的代价，最终取所有代价中的最小值即可。

伪代码

def min_increment_count(nums, target):
    n = len(nums)
    ans = float('inf')
    for k in range(1, n + 1):
        cost = 0
        for i in range(n):
            diff = target[i] - nums[i]
            cost += abs(diff)
            if diff > 0:
                j = i
                while j < n and j - i + 1 <= k:
                    if nums[j] < target[i]:
                        cost -= 1
                        nums[j] += 1
                    j += 1
            elif diff < 0:
                j = i
                while j < n and j - i + 1 <= k:
                    if nums[j] > target[i]:
                        cost -= 1
                        nums[j] -= 1
                    j += 1
        ans = min(ans, cost)
    return ans

时间复杂度

外层循环的次数是 N，内层的两个 while 循环加起来总共执行了 N 次，因此总时间复杂度是 O(N^2)。但经过观察，可以发现随着 k 的增加，区间的个数是递减的，因此可以将内层的两个 while 循环改为单个 while 循环，总时间复杂度变为 O(NlogN)。