最小异或值对

异或（XOR）是一种逻辑运算符，表示“不同则为1，相同则为0”。在计算机科学中，异或运算经常用于加密、校验等方面。

找出一个数组中的两个数，它们的异或值最小，这被称为最小异或值对。

算法实现

暴力枚举算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，不够高效，我们可以使用更优秀的算法。

通过位运算的技巧，我们可以将两个数的异或值转换为它们的二进制表示下，每一位数字的异或值。具体做法是，借助 哈希表 ，从高位到低位枚举每一位，将数字的每一位与当前位的掩码进行运算。

def findMinimumXORPair(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    if n < 2:
        return 0
    
    mask = 0
    minimum = float('inf')
    
    for i in range(30, -1, -1):
        mask |= 1 << i
        s = set()
        for num in nums:
            s.add(num & mask)

        tmp = minimum | (1 << i)
        for prefix in s:
            if prefix ^ tmp in s:
                minimum = tmp
                break

    return minimum

算法分析

上述算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，因为枚举了数字的每一位，而一个数字有 $O(\log n)$ 位。

空间复杂度为 $O(n)$，因为需要维护一个哈希表。

应用场景

最小异或值对问题常常出现在编程竞赛中，需要高效地找出两个数字之间的差距。同时，该问题还可以用于设计数据结构，例如异或前缀树等。