最小平方除数

在数学中，平方除数是指一个正整数能被一个平方数整除的最小正整数。

最小平方除数（Minimum square divisor，简称MSD）则是指一个正整数的所有平方因子中最小的一个。例如，最小平方除数为2的正整数包括2、4、6、8等等，最小平方除数为3的正整数包括3、9、12、15等等。

对于给定的正整数n，要找到最小的正整数x使得n能被x^2整除。

解决方案

一种简单的方法是，对于每个平方数x^2，判断n是否能被x^2整除。但是，这种方法的时间复杂度为O(sqrt(n))，如果n很大，则时间复杂度将非常高。

更好的方法是，将n分解成其质因子的乘积，然后对于每个不同的质因子p，找到p的最高次幂k，即p^k是n的一个因子。则n的最小平方除数就是所有质因子的最高次幂的一半。

例如，对于n=1800，它的质因子分解为2^3 * 3^2 * 5^2，因此n的最小平方除数为min(2^(3/2), 3, 5) = 2sqrt(2) ≈ 2.83。

代码实现

下面是C++的代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int msd = 1;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        int cnt = 0;
        while (n % i == 0) {
            cnt++;
            n /= i;
        }
        if (cnt != 0) msd = max(msd, int(sqrt(i)) * pow(i, (cnt + 1) / 2));
    }
    if (n > 1) msd = max(msd, n);
    cout << msd << endl;
    return 0;
}

该代码首先读入给定的正整数n，然后对于每个质因子i，找到其最高次幂cnt，计算(√i)i^(⌈cnt/2⌉)并更新最小平方除数msd。最后，如果n>1，则n本身也是一个质因子，更新msd并输出。这种方法的时间复杂度为O(sqrt(n)+logn)。

总结

最小平方除数是一个有趣的数学概念，也是一个实际的计算问题。使用质因子分解和平方根运算，我们可以快速地找到一个正整数的最小平方除数。