从 1 到 N 所需的最小数字计数，产生总和为 K

问题描述

给定两个正整数 N 和 K，你需要计算从 1 到 N 的最少数字数量，使得它们的总和等于 K。如果无法找到任何数字，则返回 -1。

解题思路

首先，我们需要理解「从 1 到 N 的最少数字数量」是什么意思。实际上，这意味着我们需要使用尽可能少的数字来表示一个给定的数字。例如，当 N=3，K=6 时，最少数字数量为 2，因为我们可以使用数字 3 和 3 来表示数字 6。

因此，这个问题可以被视为一种背包问题。我们需要将数字集合作为背包中的物品，将它们的权重设置为它们的值，并尝试使它们的总和等于 K。

对于背包问题，通常可以使用动态规划来解决。我们可以使用一个数组 dp[i] 来表示组成数字 i 所需的最少数字数量。初始时，dp[0] = 0。然后，我们可以遍历数字集合，对于每个数字 j，尝试将它加入到组成数字 i 中。这样，我们可以得到状态转移方程：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + 1)

在上述方程中，dp[i - j] 表示组成数字 i - j 所需的最少数字数量，而 j 表示我们将要添加到 i 中的数字。因此，dp[i - j] + 1 表示将 j 添加到 i 中所需的数字数量。

最终，我们可以得到 dp[K]，这表示组成数字 K 所需的最少数字数量。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的代码。

def get_min_numbers(n: int, k: int) -> int:
    # 初始化状态数组
    dp = [float('inf')] * (k + 1)
    dp[0] = 0

    # 遍历数字集合
    for i in range(1, n + 1):
        # 将数字 j 添加到组成数字 i 中
        for j in range(i, k + 1):
            dp[j] = min(dp[j], dp[j - i] + 1)

    return dp[k] if dp[k] != float('inf') else -1

在上述代码中，我们首先初始化了状态数组 dp 并将其全部设置为正无穷大。这样做是因为我们将使用 dp 数组来保存最小值，并且可能存在一些值无法被表示。接下来，我们将 dp[0] 设置为 0，因为组成数字 0 所需的最少数字数量为 0。

然后，我们遍历数字集合，并尝试将其添加到 dp 数组中。为了在添加数字 j 时保证 dp 数组的正确性，我们从 i 开始遍历，并将 j 添加到 >= i 的所有数字中。这样做可以避免重复计算。最后，我们返回 dp[K] 的值，如果它是正无穷大，则返回 -1。

总结

该问题是一种背包问题，可以使用动态规划来解决。我们使用状态数组 dp 来保存最小值，并遍历数字集合来更新数组。最终，我们可以得到 dp[K] 的值，这表示组成数字 K 所需的最少数字数量。如果 dp[K] 的值为正无穷大，则表示无法组成数字 K，返回 -1。