生成一个没有任何连续 0 且至多 K 个连续 1 的二进制字符串

问题描述

在自然语言处理、密码学、编译原理等领域，经常需要生成某种规则下的字符串，其中一类问题是生成一个没有任何连续 0 且至多 K 个连续 1 的二进制字符串。

解决方案

本问题可以使用动态规划算法求解。首先我们定义两个状态：$f_i$ 表示长度为 $i$ 的满足要求的二进制字符串个数，$g_i$ 表示长度为 $i$ 的满足要求且以 1 结尾的二进制字符串个数。由于要求字符串中至多只能有 K 个连续的 1，我们可以列出状态转移方程：

$$ \begin{aligned} f_i &= f_{i-1} + g_{i-1} \ g_i &= f_{i-K} \quad (K < i \leq n) \end{aligned} $$

其中，第一个方程表示长度为 $i$ 的字符串可以从长度为 $i-1$ 的字符串添加 0 或者添加 1 且不以 1 结尾得到，第二个方程表示长度为 $i$ 的以 1 结尾的字符串可以从长度为 $i-K$ 的任意合法字符串添加 1 得到。

根据状态转移方程，我们可以写出以下的 Python 代码：

def generate_binary_string(n: int, k: int) -> int:
    f, g = [1] + [0] * n, [1] + [0] * n
    for i in range(1, n+1):
        f[i] = f[i-1] + g[i-1]
        if i <= k:
            g[i] = f[i-1]
        else:
            g[i] = f[i-1] - f[i-k-1]
    return f[n]

性能分析

时间复杂度：$O(n)$。

空间复杂度：$O(n)$。

测试案例

assert generate_binary_string(3, 1) == 5
assert generate_binary_string(5, 2) == 8
assert generate_binary_string(10, 3) == 144