被圆外接的正 n 边多边形的边

一个被圆外接的正 $n$ 边形有 $n$ 条边，每条边的长度相等并且对称分布于多边形的周围。在计算几何中，我们可以使用以下公式计算多边形的边长 $l$ 和半径 $r$：

$$ \begin{aligned} l &= 2r\sin{\frac{\pi}{n}} \ r &= \frac{l}{2\sin{\frac{\pi}{n}}} \end{aligned} $$

其中，$\pi$ 是圆周率，$\sin$ 是正弦函数。我们也可以使用正弦定理和余弦定理来计算 $l$ 和 $r$，具体内容可以参考相关文章。

在程序中，为了获取多边形的边长，我们可以使用以下公式：

import math

def get_edge_length(n: int, r: float) -> float:
    return 2 * r * math.sin(math.pi / n)

其中，$n$ 是多边形的边数，$r$ 是多边形的半径。这个函数将返回多边形的边长。

如果你想获取多边形的边坐标（也就是多边形每条边的起始点坐标和终止点坐标），你可以使用以下代码：

def get_polygon_edges(n: int, r: float) -> List[Tuple[Tuple[float, float], Tuple[float, float]]]:
    theta = 2 * math.pi / n
    edges = []
    for i in range(n):
        start_x = r * math.cos(i * theta)
        start_y = r * math.sin(i * theta)
        end_x = r * math.cos((i + 1) * theta)
        end_y = r * math.sin((i + 1) * theta)
        edges.append(((start_x, start_y), (end_x, end_y)))
    return edges

其中，$n$ 和 $r$ 的含义和上文相同。这个函数将返回多边形的边坐标。

在使用这些函数的过程中，你需要注意单位和精度的问题。如果你使用的是角度制而不是弧度制，则需要在函数中进行相应的转换。此外，由于浮点数精度的限制，可能会出现一些误差，这时候你需要注意保留正确的精度。