3D 数组的前缀和

在计算机科学中，前缀和是一个常见的技术，通常用于数组/矩阵/张量等数据结构中。简单来说，前缀和是指对于一个集合中的每个元素，计算其前面所有元素的和或某种运算后的结果。在本文中，我们将讨论如何计算3D数组的前缀和。

什么是3D数组？

3D数组是一个三维结构，通常用于表示某种物理量在空间中的分布。例如，在计算机图形学中，我们可以使用3D数组表示3D模型的顶点位置、法线、颜色等信息。在数值计算中，3D数组也可以用于表示密度、温度、速度等物理量在空间中的分布。

3D数组的前缀和定义

对于一个3D数组$A$，其前缀和数组$P$的定义如下：

$$ P[i][j][k]=\sum_{a=0}^{i}\sum_{b=0}^{j}\sum_{c=0}^{k}A[a][b][c] $$

其中，$P[i][j][k]$表示$A$数组中从$(0,0,0)$到$(i,j,k)$这个区域内所有元素的和。

如何计算3D数组的前缀和？

计算3D数组的前缀和可以使用动态规划的思想。我们可以先计算出二维的前缀和$P[i][j][0]$，然后再利用这个结果计算$P[i][j][1]$，$P[i][j][2]$等。最终，得到的$P$数组就是3D数组的前缀和数组。

下面是Java语言实现3D数组前缀和的代码：

public static int[][][] prefixSum3D(int[][][] arr) {
    int n = arr.length, m = arr[0].length, p = arr[0][0].length;
    int[][][] ps = new int[n][m][p];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            for (int k = 0; k < p; k++) {
                ps[i][j][k] = arr[i][j][k];
                if (i > 0) ps[i][j][k] += ps[i - 1][j][k];
                if (j > 0) ps[i][j][k] += ps[i][j - 1][k];
                if (i > 0 && j > 0) ps[i][j][k] -= ps[i - 1][j - 1][k];
                if (k > 0) ps[i][j][k] += ps[i][j][k - 1];
                if (i > 0 && k > 0) ps[i][j][k] -= ps[i - 1][j][k - 1];
                if (j > 0 && k > 0) ps[i][j][k] -= ps[i][j - 1][k - 1];
                if (i > 0 && j > 0 && k > 0) ps[i][j][k] += ps[i - 1][j - 1][k - 1];
            }
        }
    }
    return ps;
}

代码解释

首先，我们计算一维的前缀和$P[i][j][0]$，即

$$ P[i][j][0]=\sum_{a=0}^{i}\sum_{b=0}^{j}A[a][b][0] $$

然后，我们使用动态规划的思想，从一个维度到另一个维度逐步进行计算。

对于$P[i][j][k]$，计算方式如下：

1. 将$A[i][j][k]$加到$P[i][j][k]$中。
2. 若$i>0$，将$P[i-1][j][k]$加到$P[i][j][k]$中。
3. 若$j>0$，将$P[i][j-1][k]$加到$P[i][j][k]$中。
4. 若$i>0$且$j>0$，需要减去多加的$P[i-1][j-1][k]$。
5. 若$k>0$，将$P[i][j][k-1]$加到$P[i][j][k]$中。
6. 若$i>0$且$k>0$，需要减去多加的$P[i-1][j][k-1]$。
7. 若$j>0$且$k>0$，需要减去多加的$P[i][j-1][k-1]$。
8. 若$i>0$且$j>0$且$k>0$，需要加上多减的$P[i-1][j-1][k-1]$。

最终，返回的$ps$数组就是3D数组$A$的前缀和数组。

总结

本文中，我们介绍了3D数组的前缀和，以及如何利用动态规划的思想计算3D数组的前缀和。这种技术在计算机图形学、数值计算等领域中非常有用，可以方便快捷地处理一些基于空间位置的计算。