前缀乘积数组介绍

前缀乘积数组是一个常见的数据结构，可以在 $O(n)$ 的时间内求出一个数组中每个元素左边所有元素的乘积。

用途

前缀乘积数组可以用于解决多种算法问题，比如：

• 给定一个数组和一个数 $k$，找出所有连续子数组的乘积中，小于等于 $k$ 的最大乘积值。
• 给定一个数组和一个数 $k$，找出所有长度为 $k$ 的子数组的乘积中的最大值。
• 给定一个数组，对于每个元素，求出包括这个元素在内的左边所有元素的乘积。

这些问题都可以使用前缀乘积数组来解决。

实现

下面是一个简单的 Python 实现：

def prefix_product(arr):
    n = len(arr)
    prefix = [1] * n
    for i in range(1, n):
        prefix[i] = prefix[i - 1] * arr[i - 1]
    return prefix

这个函数接收一个数组，返回该数组的前缀乘积数组。

应用

下面是一个例子，给出一个数组和一个数 $k$，找出所有连续子数组的乘积中，小于等于 $k$ 的最大乘积值。

def max_product(arr, k):
    prefix = prefix_product(arr)
    n = len(arr)
    left, right = 0, 1
    max_product = 0
    while right < n:
        product = prefix[right] // prefix[left]
        if product <= k:
            max_product = max(max_product, prefix[right] // prefix[left])
            right += 1
        else:
            left += 1
    return max_product

下面是一个例子，给出一个数组和一个数 $k$，找出所有长度为 $k$ 的子数组的乘积中的最大值。

def max_product_k(arr, k):
    prefix = prefix_product(arr)
    n = len(arr)
    max_product = 0
    for i in range(k - 1, n):
        product = prefix[i] // prefix[i - k]
        max_product = max(max_product, product)
    return max_product

下面是一个例子，给出一个数组，对于每个元素，求出包括这个元素在内的左边所有元素的乘积。

def prefix_product_array(arr):
    prefix = prefix_product(arr)
    n = len(arr)
    result = [0] * n
    for i in range(n):
        result[i] = prefix[i] * arr[i]
    return result

总结

前缀乘积数组是一个非常有用的数据结构，可以用于解决多种算法问题。在实现上，只需要对原数组进行一次遍历，时间复杂度为 $O(n)$。