通过降低边缘成本使用 Dijkstra 的最低成本

简介

Dijkstra 算法是一种找出带权图中单源最短路径的算法。它是以荷兰计算机科学家爱德斯·迪科斯彻名字命名的。该算法经常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。该算法的时间复杂度为 $O(|E|+|V|$)$，其中 $|E|$ 是边的数量，$|V|$ 是点的数量。在本文中，我们将介绍如何通过降低边缘成本来使用 Dijkstra 的最低成本。

什么是边缘成本？

边权（Edge Weight）又称边缘权值，是指图论中给图中每一条边赋一个数值，该数值通常也称为权重。在应用图论的问题中，每个物品都可以看做是一个节点，每两个节点之间的距离都可以看做是它们之间的一条边。边缘成本就是每条边的权重。 例如，一张地图可以被视为一个图，其中每个城市都可以看作一个节点，每条公路都可以看作是两个城市之间的一条边，而每条边的权重通常是两个城市之间的距离或行驶时间。

什么是 Dijkstra 算法？

Dijkstra 算法是一种通过将节点分成两个集合来找到带权图中单源最短路径的算法。迪科斯彻指出，该算法仅适用于权重为正数的图。本算法实质上是一种贪心算法，通俗地讲，就是从起点开始，找到离它最近的一个节点，将这个节点添加到已访问的节点集合中，然后再用它更新到所有相邻节点的距离。重复这个过程，直到到达目标节点。

如何通过降低边缘成本使用 Dijkstra 的最低成本？

我们可以通过降低边缘成本来使用 Dijkstra 算法的最低成本。具体做法是将边缘成本转换为边缘费用。我们假设某一条边的边缘成本为 $w$，则可以将其转换为边缘费用，即 $c = \frac{1}{w}$。这样，我们就将边缘成本变成了边缘费用。然后，我们就可以按照 Dijkstra 算法的正常流程来找到最短路径。不同的是，我们需要找到的是费用最低的路径，而费用可以通过边缘成本来计算。

下面是 Python 代码片段，用于实现通过降低边缘成本使用 Dijkstra 算法的最低成本：

import heapq

def dijkstra(src, graph):
    heap = [(0, src)]
    visited = set()

    while heap:
        (cost, curr) = heapq.heappop(heap)
        if curr in visited:
            continue
        visited.add(curr)

        for (neighbor, weight) in graph[curr].items():
            if neighbor in visited:
                continue
            heapq.heappush(heap, (cost + weight, neighbor))

    return cost

总结

通过降低边缘成本使用 Dijkstra 的最低成本是一种很有实用价值的算法。它可以用于带权图中找出单源最短路径。我们可以通过将边缘成本转换为边缘费用来实现费用最低的路径。这是一个很好的例子，说明了如何将一种问题转换为另一种相关的问题，并利用算法来高效地解决。