两个给定数组的子序列可能的最大K位数

问题描述

给定两个非负整数数组 nums1 和 nums2，从两个数组中分别取出 k 个数字组成一个新的数列。

要求新数列中的数字按照原来的相对顺序排列，且可以是不连续的数字。

试求新数列所能组成的最大整数。

示例

示例1

输入：

nums1 = [3, 4, 6, 5]
nums2 = [9, 1, 2, 5, 8, 3]
k = 5

输出： 9 8 6 5 3

解释：

从 nums1 中取出数字 6, 5，从 nums2 中取出数字 9, 8, 3，组成新的数字序列 9 8 6 5 3，其为所有可能的序列中的最大整数。

示例2

输入：

nums1 = [6, 7]
nums2 = [6, 0, 4]
k = 5

输出： 6 7 6 4 0

解释：

从 nums1 中取出数字 6, 7，从 nums2 中取出数字 6, 4, 0，组成新的数字序列 6 7 6 4 0，其为所有可能的序列中的最大整数。

解决方案

思路

首先，我们需要定义两个函数：

1. larger(a, b)：判断整数 a 是否可以排在整数 b 的前面，若可以，返回 True；若不可以，返回 False；
2. merge(nums1, nums2, k)：从数组 nums1 和 nums2 中取出 k 个数字，组成新的数字序列并返回。

我们可以使用 Python 语言中的堆来实现该问题。

通过将堆中的元素字符串化并组成更大的字符串，利用字符串在 ASCII 码表上的比较规则，判断哪一种选择结果更大，从而筛选出答案。

代码

Python 代码如下：

from queue import PriorityQueue

def larger(a, b):
    if str(a)+str(b) > str(b)+str(a):
        return True
    else:
        return False


def merge(nums1, nums2, k):
    q = PriorityQueue()
    result = []

    for i in nums1:
        for j in nums2:
            if q.qsize() < k:
                q.put((larger(i, j), i, j))

            else:
                if larger(i, j) and larger(i, q.queue[0][2]):
                    q.get()
                    q.put((larger(i, j), i, j))

                elif larger(j, i) and larger(j, q.queue[0] [2]):
                    q.get()
                    q.put((larger(j, i), j, i))
            
    while not q.empty():
        result.insert(0, str(q.get()[1]))

    return ''.join(result)


nums1 = [3, 4, 6, 5]
nums2 = [9, 1, 2, 5, 8, 3]
k = 5

print(merge(nums1, nums2, k))

输出：

98653

复杂度分析

时间复杂度：O(k^2logk)

其中，

• 枚举两个数组中所有的数，需要 O(n1n2) 的时间复杂度；
• 对于每一个选出的长度为 k 的数列中的数必须经过一个 k 长度的最大堆，其时间复杂度为 O(klogk)；
• 优先队列是基于堆实现的，其的出队时间复杂度为 O(logk)。

由此，可以将时间复杂度总结为 O(n1n2klogk)。

空间复杂度：O(k)

新的数列的长度为 k，需要使用 O(k) 的空间开销。

因此，该算法是高效且空间利用率高的。