📅 最后修改于: 2023-12-03 14:50:10.293000 🧑 作者: Mango
凸问题是指目标函数和约束条件都是凸函数的优化问题，它们具有许多良好的性质，可以采用高效的算法求解。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化问题。其中，目标函数为线性函数，约束条件为线性不等式或等式。最常见的求解线性规划的算法是单纯形法和内点法。
单纯性法是一种基于迭代的算法，其基本思想是通过在凸多面体上不断移动顶点来寻找最优解。具体地，它的迭代步骤包括：选择一个非基变量，计算它的变量系数表达式，以确定使目标函数增加的方向；然后，从所有满足条件的方向中选择一个离corner最近的（即变量系数最大的）方向，将非基变量和基变量进行交换，从而得到一个更优的解。该过程不断迭代，直到无法找到更优的解为止。单纯性法在实际应用中被广泛使用，但该算法在某些情况下可能会出现退化现象，从而导致性能下降。
内点法是一种求解线性规划的优化算法，其基本思想是通过将线性规划问题转化为一系列非线性规划子问题，然后采用牛顿迭代法求解。具体地，它的迭代步骤包括：构造一个对偶问题，寻找一个合适的初始点，在对偶问题上应用牛顿迭代法寻找最优解点，然后将最优解点映射回原始问题上得到最优解。相比于单纯性法，内点法的性能更加稳定，并且能够处理退化现象。
二次规划是指目标函数为二次函数，约束条件可能为非线性的优化问题。最常见的求解二次规划的算法是内点法和信赖域方法。
信赖域方法是一种求解无约束二次规划的优化算法，其基本思想是将原始问题转化为一个在某个信赖域上的子问题，然后采用牛顿迭代法求解。具体地，它的迭代步骤包括：在当前点处构造一个二次模型，并计算其下降方向；然后，对于每一个步长，计算预测下降量和实际下降量之比，以判断步长大小是否合适。如果步长太大，那么应该缩小信赖域半径，反之，如果步长太小，则应该增大信赖域半径。信赖域方法具有迭代速度快、下降性能好等优点，在实际应用中得到了广泛的应用。
凸二次规划是指目标函数和约束条件都是凸二次函数的优化问题。最常见的求解凸二次规划的算法是内点法和信赖域方法。
内点法是一种求解凸二次规划的优化算法，其基本思想是通过将凸二次规划问题转化为一系列非线性规划子问题，然后采用牛顿迭代法求解。具体地，它的迭代步骤包括：构造一个对偶问题，寻找一个合适的初始点，在对偶问题上应用牛顿迭代法寻找最优解点，然后将最优解点映射回原始问题上得到最优解。相比于其他算法，内点法在求解大规模凸二次规划问题时具有很好的性能。
凸问题是优化问题中的一种特殊类型，具有许多良好的性质，并且可以采用高效的算法求解。常见的凸问题包括线性规划、二次规划和凸二次规划等，其中，单纯性法、内点法和信赖域方法是最常见的求解算法。程序员在实际应用中需要根据具体问题和算法特点进行选择，并结合数值方法和计算机技术等手段进行计算和优化。