排列计数，以使给定范围内的K个数之和为偶数

在这个问题中，我们需要对给定范围内的数进行排列，并计数有多少种排列方式，使得其中 K 个数之和是偶数。

我们可以先来探讨一下偶数和奇数的性质。当两个奇数相加时，其结果一定是偶数；而当两个偶数相加时，其结果一定是偶数。同时，当一个偶数和一个奇数相加时，其结果一定是奇数。根据这些性质，我们可以推出以下结论：

1. 如果存在偶数个奇数，则它们的和一定是偶数。
2. 如果存在奇数个奇数，则它们的和一定是奇数。

因此，我们只需要计算出给定范围内奇数的个数和偶数的个数，然后考虑选择其中的哪些数来组成和，才能得到偶数。具体步骤如下：

1. 统计给定范围内所有数中奇数个数和偶数个数，分别记作 odd_num 和 even_num。

2. 如果 K=0，则当且仅当 even_num > 0 时，方案数为 1；否则方案数为 0。

3. 如果 K>0，则分两种情况考虑：

   • 如果 odd_num>=K，则需要从 odd_num 个奇数中选择 K 个，方案数为 C(odd_num,K)。另外，还需要从 even_num 个偶数中选择 0 个或 1 个，方案数为 C(even_num,0)+C(even_num,1)。

   • 如果 odd_num<K，则需要从 odd_num 个奇数中选择 odd_num 个，在剩下的 even_num 个偶数中选择 K-odd_num 个，方案数为 C(odd_num,odd_num)×C(even_num,K-odd_num)。

4. 最终的方案数即为上述两种情况的方案数之和。

下面是使用 Python 实现上述算法的代码片段：

def count_permutations(l, r, k):
    odd_num = (r - l + 1) // 2
    even_num = r - l + 1 - odd_num
    if k == 0:
        return 1 if even_num > 0 else 0
    elif odd_num >= k:
        res = 0
        for i in range(k+1):
            if i <= odd_num and k-i <= even_num:
                res += comb(odd_num, i) * comb(even_num, k-i)
        return res
    else:
        return 0

其中 comb(n,m) 表示从 n 个数中选择 m 个的组合数。