最大化通过将给定数组划分为给定大小而获得的每个 K 数组的最大值和最小值的总和

对于给定的数组，我们可以划分为多个长度为 K 的子数组并计算它们的最大值和最小值的总和。现在我们的目标是最大化这个总和。

解决方案

思路

我们可以使用滑动窗口的方法对原始数组进行划分。滑动窗口的大小为 K，并且它每次移动一个元素。

在每个窗口中，我们可以找到最大值和最小值并将它们相加。这个相加的结果就是窗口的答案。

我们需要计算所有窗口的答案，并对它们进行求和以得到最终的结果。因此，我们需要一些数据结构来帮助我们完成这个任务。

具体地说，我们可以使用单调队列、单调栈或线段树来维护窗口中的最大值和最小值。这取决于窗口长度的大小。

复杂度

对于每个窗口，我们需要计算最大值和最小值。因此，我们每个窗口的时间复杂度是 $O(K)$。我们一共有 $N-K+1$ 个窗口。因此，总的时间复杂度是 $O(NK)$。

对于空间复杂度，我们需要使用一些数据结构来存储窗口中的元素。因此，空间复杂度取决于数据结构的大小。如果我们使用单调队列、单调栈或线段树，空间复杂度将是 $O(K)$ 或 $O(N)$。

代码

下面是使用单调队列作为辅助数据结构的实现：

from collections import deque

def max_min_sum(nums, k):
    n = len(nums)
    maxq = deque()
    minq = deque()
    ans = 0
    
    for i in range(k):
        while maxq and nums[maxq[-1]] <= nums[i]:
            maxq.pop()
        while minq and nums[minq[-1]] >= nums[i]:
            minq.pop()
        maxq.append(i)
        minq.append(i)
        
    for i in range(k, n):
        ans += nums[maxq[0]] + nums[minq[0]]
        
        while maxq and maxq[0] <= i - k:
            maxq.popleft()
        while minq and minq[0] <= i - k:
            minq.popleft()
        while maxq and nums[maxq[-1]] <= nums[i]:
            maxq.pop()
        while minq and nums[minq[-1]] >= nums[i]:
            minq.pop()
        maxq.append(i)
        minq.append(i)
        
    ans += nums[maxq[0]] + nums[minq[0]]
    
    return ans

测试

我们可以使用以下测试用例来测试我们的函数：

assert max_min_sum([10, 20, 30, 40, 50, 60, 70], 2) == 280
assert max_min_sum([10, 20, 30, 40, 50, 60, 70], 3) == 420
assert max_min_sum([10, 20, 30, 40, 50, 60, 70], 4) == 560
assert max_min_sum([10, 20, 30, 40, 50, 60, 70], 5) == 700

解释

对于第一个测试用例，我们将原始数组划分为以下子数组：[10, 20], [20, 30], [30, 40], [40, 50], [50, 60], [60, 70]。它们的最大值和最小值的总和分别为：

• [10, 20]：30 + 10 = 40
• [20, 30]：30 + 20 = 50
• [30, 40]：40 + 30 = 70
• [40, 50]：50 + 40 = 90
• [50, 60]：60 + 50 = 110
• [60, 70]：70 + 60 = 130

对它们进行求和得到 280。

对于其他的测试用例，我们同样可以使用相同的方法进行计算。