如何最大化长度为 3 的字符串的数量

当给定 N 个 1 和 M 个 0 时，如何最大化长度为 3 的字符串的数量呢？这是一道经典问题，在本文中将介绍两种解决方案。

解决方案一

我们可以先考虑长度为 2 的字符串。显然，长度为 2 的字符串由一个 1 和一个 0 组成，共有 N * M 个。接下来，我们将这些长度为 2 的字符串从左到右依次标记为 1、2、3、...、N*M。

然后，我们考虑长度为 3 的字符串。对于长度为 3 的字符串 abc，a 和 c 分别是 1 和 0，b 可以是 1 和 0 中的任意一个。因此，长度为 3 的字符串的数量为 N * M * (N * M - 1)。

但是，我们注意到，由于限制了长度为 3，一些长度为 2 的字符串可能无法组成长度为 3 的字符串。具体来说，对于长度为 2 的字符串 i，如果 i 左边或右边没有与其相邻的长度为 2 的字符串，那么 i 就无法被用来组成长度为 3 的字符串。因此，我们需要减去这样的长度为 2 的字符串的数量。

那么，如何计算这样的长度为 2 的字符串的数量呢？我们可以将这些长度为 2 的字符串看做是长度为 3 的字符串中的 a 和 c，而 b 则可以是相邻的任意一个长度为 2 的字符串。因此，这样的长度为 2 的字符串的数量为 2 * (N-1) * (M-1)。最终，我们就可以得到最大化长度为 3 的字符串的数量的公式：

ans = N * M * (N * M - 1) - 2 * (N-1) * (M-1)

解决方案二

除了上述解决方案以外，我们还可以通过贪心的思想来解决这道问题。具体来说，我们可以先将长度为 3 的字符串的数量尽量最大化，然后再考虑如何填满长度为 2 的空缺。

显然，对于长度为 3 的字符串 abc，a 和 c 分别是 1 和 0，而 b 可以是 1 或 0。为了最大化长度为 3 的字符串的数量，我们应该尽可能多地让 b 取值为 1 或 0。

假设 N >= M，那么我们可以将前 M 个长度为 3 的字符串的 b 取值依次设置为 1、0、1、0、...，后面的串也类似处理。那么，我们就可以得到最大化长度为 3 的字符串的数量的公式：

ans = N * (M-1) + (N-1)

最终，我们需要将长度为 2 的空缺填满。注意到，当 N 和 M 中任意一个小于等于 1 时，无论如何都不能填满长度为 2 的空缺。因此，我们需要特判这种情况。

否则，我们可以将长度为 2 的字符串的数量尽量最大化，直到能够填满所有长度为 2 的空缺，那么我们就成功地最大化了长度为 3 的字符串的数量。

总结

本文介绍了两种方法来最大化长度为 3 的字符串的数量。第一种方法是基于排列组合的思想，计算长度为 3 的字符串的数量并减去无法组成长度为 3 的字符串的数量。第二种方法则是基于贪心的思想，先最大化长度为 3 的字符串的数量，然后再填满长度为 2 的空缺。两种方法都可以得到正确的答案，具体使用哪种方法取决于具体情况。