N位数的计数，相邻位数的绝对差不超过K

在编程时，我们经常需要计算一些数的个数，特别是在数论、组合数学、概率等领域。本文将介绍一道与计数相关的题目，即N位数的计数，相邻位数的绝对差不超过K。

题目描述

给定正整数N和K，求由N位数字组成的正整数中，每相邻两位数字的绝对差不超过K的数字个数。例如当N=3,K=2时，满足条件的数字为101, 111, 121, 131, 141, 212, 232, 252, 313, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393, 454, 474, 494, 505, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595, 656, 676, 696, 707, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797, 858, 878, 898, 909, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 共48个。

解题思路

若N=1，则符合条件的数字个数为K+1；若N>1，则可以使用动态规划的思想求解，设dp[i][j]表示i位数字中，个位数字为j时，满足条件的数字个数。则当i>1时，dp[i][j]的值可以通过dp[i-1][k]转移得到，具体转移方式如下：

for k in range(max(0, j-K), min(10, j+K+1)):
    dp[i][j] += dp[i-1][k]

其中，max(0, j-K)和min(10, j+K+1)保证了计算时不会出现负数和大于等于10的数字。

最终答案为所有dp[N][j]之和。

参考代码

def count_numbers(n: int, k: int) -> int:
    dp = [[0] * 10 for _ in range(n+1)]
    for i in range(10):
        dp[1][i] = 1

    for i in range(2, n+1):
        for j in range(10):
            for k in range(max(0, j-k), min(10, j+k+1)):
                dp[i][j] += dp[i-1][k]

    ans = sum(dp[n])
    return ans

总结

本题利用动态规划的思想，优雅地解决了计数问题。同时也延伸了动态规划的应用领域，以及思考动态规划方程的技巧和方法。