📅  最后修改于: 2023-12-03 15:40:28.293000             🧑  作者: Mango
如何通过给定的条件来将整数N减小为1,并且尽可能地减小成本呢?这是一个常见的问题,特别是在算法和数据结构领域。
给定一个正整数N,每次你可以执行下面两种操作之一:
你需要通过若干次操作,使得N最终变为1。并且你需要最小化整个操作的成本。
这个问题可以使用贪心算法来解决。具体来说,我们可以使用以下规则:
这个算法的正确性可以通过归纳法证明。我们可以按照上述规则通过若干次操作使得N减小为1,并且当N大于1时,按照规则每次操作都能达到最大的减小速度。
但是,这个贪心算法无法得到最优解。比如,当N=6时,按照上述规则我们需要进行3次操作,但是如果我们将N减小为3,再将N减小为2,则一共只需要两次操作。因此,我们需要使用动态规划算法来解决这个问题。
我们可以使用一个数组dp来记录每个1~N的整数的最小成本。具体来说,我们有以下的递推公式:
dp[1]=0
dp[i]=min(dp[i/2]+cost[i],dp[i-1]+cost[i])
其中cost[i]表示将i减小到i/2或i-1所需要的成本。对于偶数,cost[i]=1;对于奇数,cost[i]=2。
根据上述递推公式,我们可以使用动态规划算法来计算dp[N],即将N减小为1的最小成本。
下面是Python代码实现:
def minCostTo1(N):
cost = [0]*(N+1)
for i in range(1, N+1):
if i%2 == 0:
cost[i] = 1
else:
cost[i] = 2
dp = [0]*(N+1)
for i in range(2, N+1):
if i%2 == 0:
dp[i] = min(dp[i//2]+cost[i], dp[i-1]+cost[i])
else:
dp[i] = min(dp[i//2]+cost[i], dp[(i+1)//2]+cost[i]+1)
return dp[N]
本文介绍了如何根据给定条件将整数N减小为1的最小成本。我们首先使用贪心算法来解决问题,但是发现这个算法无法得到最优解,进而使用动态规划算法来解决这个问题。具体来说,我们使用一个数组来记录每个1~N的整数的最小成本,并使用递推公式计算dp[N]。最终,我们得到了将整数N减小为1的最小成本。