给定图的最小生成树成本

在图论中，最小生成树是一种包含了一个无向连通图所有顶点的树，并且树上所有边的权重之和最小的生成树。本文将介绍如何使用常见的图论算法来求解给定图的最小生成树成本。

Kruskal算法

Kruskal算法是一种基于贪心思想的算法，它的基本思路是先将所有边按照权重从小到大排序，然后依次加入到生成树中，并且保证加入一个边不会产生环。当最终生成的树包含了所有的顶点时，算法结束。

以下是Kruskal算法的代码实现：

def kruskal(graph):
    parent = {}
    for node in graph['vertices']:
        parent[node] = node

    mst = []
    edges = graph['edges']
    edges.sort()

    for edge in edges:
        weight, start, end = edge
        if find(parent, start) != find(parent, end):
            union(parent, start, end)
            mst.append(edge)

    return mst

其中，graph是以字典形式表示的图，具体格式如下：

{
    'vertices': ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'],
    'edges': [
        (7, 'A', 'B'),
        (5, 'A', 'D'),
        (7, 'B', 'A'),
        (8, 'B', 'C'),
        (9, 'B', 'D'),
        (7, 'B', 'E'),
        (8, 'C', 'B'),
        ...
    ]
}

在上述代码中，我们首先将所有顶点的父节点初始化为自身。然后，我们将所有边按照权重排序，依次加入到生成树中。对于每一条边，我们判断它的起始点和终止点是否已经被加入到生成树中。如果它们在同一个连通分量中，则加入这条边会构成环，因此我们直接跳过；否则，我们将这条边加入到生成树中，并且更新起始点和终止点的父节点。最终，我们返回生成树的边集。

Prim算法

Prim算法也是一种常见的最小生成树算法，与Kruskal算法不同的是，Prim算法从一个起始顶点开始生成树，并且在每一步中，选择与已有树最近的顶点加入到树中。

以下是Prim算法的代码实现：

import heapq

def prim(graph, start):
    mst = []
    visited = set(start)
    edges = [(weight, start, end) for end, weight in graph[start].items()]
    heapq.heapify(edges)

    while edges:
        weight, start_node, end_node = heapq.heappop(edges)
        if end_node not in visited:
            visited.add(end_node)
            mst.append((weight, start_node, end_node))

            for next_node, weight in graph[end_node].items():
                heapq.heappush(edges, (weight, end_node, next_node))

    return mst

在上述代码中，我们从起始顶点开始，依次将与它相邻的顶点加入到最小堆中；对于堆中权重最小的边，我们将其起始点加入到已访问集合中，并且将这条边加入到最小生成树中。然后，我们将新加入的顶点的相邻边加入到最小堆中。重复以上步骤，直到所有顶点都被加入到最小生成树中。

总结

本文介绍了Kruskal算法和Prim算法两种求解给定图的最小生成树成本的基本思路和代码实现。这两种算法时间复杂度都为$O(ElogE)$，其中$E$为边数，因此在处理大规模数据时运行效率较高。需要注意的是，以上代码中并未对输入数据进行有效性检测和防御性编程，因此使用时需格外注意。