通过将Array元素替换为Square可以得到的最大子数组总和

这里我们探讨了一个经典的问题：如何通过将一个数组中的元素替换为它们的平方，来得到该数组的最大子数组总和。

问题描述

给定一个包含 n 个整数的数组 nums，将 nums 中的每个元素替换为其平方后得到一个新的数组 squares。在新数组 squares 中，找到一个连续子数组，使得该子数组元素的和最大，并返回该子数组元素的和。

解决方法

暴力解法

最朴素、最简单的方法是，枚举所有可能的子数组，计算它们的和，然后返回其中最大的和。时间复杂度为 $O(n^3)$，显然不能满足高效的要求。

优化方法

双指针法

我们可以使用两个指针，分别指向原数组的第一个元素和最后一个元素。由于已经将原数组中的每个元素替换为它的平方值，因此最大子数组的和一定是由子数组首尾两端之一的平方值所贡献的。我们可以比较两个指针所指向的平方值的大小，选择其中较大的一个，并将该指针对应的元素作为该子数组的一个元素。然后将指针向另一个方向移动一个位置，重复这个过程，直到两个指针重合为止。时间复杂度为 $O(n)$。

动态规划法

另一种解决方法是使用动态规划。我们定义 $dp[i]$ 表示以第 i 个元素结尾的最大子数组的和。在计算 $dp[i]$ 时，需要考虑两种情况：

• 将第 i 个元素包含在内，此时 $dp[i]=dp[i-1]+squares[i]$；
• 不将第 i 个元素包含在内，此时 $dp[i]=\max(dp[i-1], 0)$。

因此，状态转移方程为 $dp[i]=\max(dp[i-1]+squares[i], \max(dp[i-1], 0))$。最大子数组的和即为 $\max_{i=1}^{n} dp[i]$。时间复杂度为 $O(n)$。

代码示例

以下是使用动态规划法求解该问题的Python代码:

def maxSubArray(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    squares = [num ** 2 for num in nums]
    dp = [0] * n
    dp[0] = squares[0]
    res = dp[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1] + squares[i], squares[i], 0)
        res = max(res, dp[i])
    return res

总结

通过将原数组的元素替换为它们的平方，可以将该问题转化为求解最大子数组的和。我们提出了两种解决方法：暴力解法和优化方法。优化方法包括双指针法和动态规划法，其中动态规划法是效率最高的解决方法。