通过最多 Q 次将 K 大小的子字符串更改为 1 来最小化二进制字符串中 0 的数量

问题描述

给定一个由 0 和 1 组成的二进制字符串 s 以及整数 k 和 q，逐次进行如下操作：

1. 选择长度为 k 的子串，将其所有的 0 修改为 1。
2. 最多进行 q 次上述操作。
3. 返回修改后的字符串中 0 的数量的最小值。

算法思路

这是一个优化问题，首先需要考虑的是什么情况下更改 0 的数量会更少。显然，我们应该更改那些 0 的数量更多的子串。

我们可以通过一个累加辅助数组 prefix 来计算所有子串的 0 的数量。那么，如何才能找到 0 的数量前 k 多的子串呢？

我们可以使用一个大小为 k 的最小堆，对 prefix 进行扫描，每次将一个数加入堆中。当堆的大小超过 k 时，弹出堆顶元素，并将其从候选集合中删除。这样，最终堆中的元素就是前 k 大的数字。

接下来只需要遍历这些前 k 大的子串，对其中的每个子串进行更改，并统计修改后的二进制字符串中 0 的数量即可。

代码实现

Python 代码

import heapq

class Solution:
    def minimumNumberOfOperations(self, s: str, k: int, q: int) -> int:
        n = len(s)
        prefix = [0] * (n+1)
        for i in range(1, n+1):
            prefix[i] = prefix[i-1] + (1 if s[i-1] == '0' else 0)
        ans = float('inf')
        heap = []
        for i in range(k, n+1):
            p = prefix[i] - prefix[i-k]
            heapq.heappush(heap, -p)
            if len(heap) > k:
                heapq.heappop(heap)
            if len(heap) == k:
                cost = -sum(heap)
                operations = q * k
                if cost <= operations:
                    ans = min(ans, n-cost)
        return ans if ans != float('inf') else 0

C++ 代码

#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int minimumNumberOfOperations(string s, int k, int q) {
        int n = s.length();
        vector<int> prefix(n+1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            prefix[i] = prefix[i-1] + (s[i-1] == '0' ? 1 : 0);
        }
        int ans = INT_MAX;
        priority_queue<int> heap;
        for (int i = k; i <= n; i++) {
            int p = prefix[i] - prefix[i-k];
            heap.push(p);
            if (heap.size() > k) {
                heap.pop();
            }
            if (heap.size() == k) {
                int cost = -1 * accumulate(heap.begin(), heap.end(), 0);
                int operations = q * k;
                if (cost <= operations) {
                    ans = min(ans, n-cost);
                }
            }
        }
        return (ans == INT_MAX) ? 0 : ans;
    }
};

时间复杂度

时间复杂度为 $O(n \log k)$，其中 $n$ 是字符串的长度。我们需要扫描一遍 prefix 累加数组，然后对 prefix 进行 $n-k$ 次扫描，每次都要进行最多 $k$ 个元素的堆操作。