半径比规则

物质的三种物理状态是固体、液体和气体。通过改变温度和压力，任何物质状态都可以转变为另一种状态。在较低温度下，最普遍的物质状态是固体。通过将固体的温度提高到其熔点，足够的能量被注入到固体中，以克服分子间的吸引力并使固体熔化并变成液体。当液体被加热到沸腾温度时，它们会蒸发并变成气态。另一方面，当气体冷却并承受高压时，它们可以变成液体，然后可以进一步冷却以产生固体。

因为它们的组成粒子、原子或分子的位置不能被改变，所以固体不能像气体一样被挤压或像液体一样被倾倒。物质的物理状态是由分子间吸引力的相互作用产生的，例如偶极-偶极相互作用、偶极诱导的偶极相互作用、伦敦力、氢键等。

固体的性质

• 大多数药理药物是固体。
• 固定成分的固体具有固定的质量、体积、形状和密度。 [通常，材料的固态密度低于液态和气态。]
• 大多数固体是坚硬的、僵硬的和不可压缩的。
• 分子间的吸引力将固体的组成颗粒牢固地固定在一起。
• 所有纯固体都具有不同的熔点，该熔点由固态中存在的分子间作用力的强度决定。
• 在固态中，组分粒子之间的分子间吸引力大于液相和气相中的。

半径比规则

每种离子化合物的结构由化学计量和离子大小决定。较大的阳离子可以装入立方或八面体孔中。在四面体孔中，可以容纳较小的阳离子。如果我们检查立方紧密堆积形式的阴离子阵列，四面体和八面体孔的直径会有所不同。因此，阳离子只有在有足够空间容纳它们时才会占据空隙。

半径比可用于确定离子是否能够保留阳离子。晶胞的形状也由晶体结构中离子的配位数决定。对于特定的配位数，阳离子半径与阴离子半径之比存在一个极限值，即r ⁺ / r ^- 。如果比率 r ⁺ / r ^-的值小于预测值，则离子结构变得不稳定。

Hence, the radius ratio is defined as the ratio of a smaller ionic radius (cation) to a larger ionic radius (anion), and is given by,

ρ = r⁺ / r^–

where,

• ρ is the radius ratio,
• r⁺ is the radius of cation, and
• r^– is the radius of the anion.

下面给出了 r ⁺ / r ^–的极限值及其配位数。

Coordination Number of cation	Limiting value of r+ / r–	Type of hole occupied (void)
2	<0.155	Linear
3	0.155 to 0.225	Planar Triangular
4	0.225 to 0.141	Tetrahedral
6	0.414 to 0.732	Octahedral
8	0.732 to 1.000	Cubic
12	>1	Close Packing

例如 B ₂ O ₃ 、ZnS、NaCl、CsCl、MgO、CuCl

一些属性是：

• 半径比规则仅适用于离子物质。
• 如果键是共价键，则规则被打破。
• 该规则可用于预测各种离子固体的结构。

示例问题

问题1：如果固体“X ⁺ Y- ^”的结构类似于NaCl，阴离子半径为250 pm。然后，找到结构中阳离子的理想半径。另外，请说明您的理由，是否可以在结构的四面体位置（X ⁺ Y ^– ）中安装半径为 180 pm 的阳离子 Z ⁺ ？

解决方案：

Given that,

Structure X⁺Y^–

                     Radius of anion = 250 pm = 2.5 A°         [1 picometer = 0.01A°]

                     Limiting ratio = 0.414                             [refer to the above table]

If the X⁺Y^– structure is comparable to that of the Na⁺Cl^– ion, then six Cl^– ions will surround the Na⁺ and vice versa.

Thus, octahedral void is occupied.

Radius ration ρ = r⁺ / r^–

r⁺ = 0.414 × 2.5

= 1.035 A°

Now, the limiting ratio for tetrahedral site is 0.225 [refer to table]

As a result, r⁺ / r^– = 0.225 

 r⁺ = 0.225 × 2.5

= 0.5625 A° or 56.25 pm

Thus, for a tetrahedral site, the optimum radius for the cation in the given structure is 56.25 pm.

We know that the radius of Z⁺ is 180 pm. This implies that Z⁺‘s radius is substantially bigger than 56.25 pm. 

Thus, cation Z⁺ cannot be accommodated in a tetrahedral location. 

问题2：如果r _{cs ⁺} = 1.69 A°和r _{Cl ^-} = 1.81A°，预测Cs ⁺离子的配位数和CsCl的结构

解决方案：

Given that: 

r_cs⁺ = 1.69 A°

r_Cl^– = 1.81A°

Calculation: 

Radius ration ρ = r⁺ / r^– 

= 1.69 / 1.81

= 0.9337 A°

As 0.9337 > 0.732, hence the coordination number is 8 and geometry of CsCl is cubic.

问题3：如果r _{Na ⁺} = 0.95 A°和r _{Cl ^-} = 1.81A°，预测Na ⁺离子的配位数和NaCl晶体的结构

解决方案：

Given that:

r_Na⁺ =0.95A°

r_Cl^– = 1.81A°

Radius ration ρ = r⁺ / r^–

= 0.95 / 1.81

= 0.5248  A°

As 0.5248 lies between (0.414 to 0.732), hence the coordination number is 6 and geometry of NaCl is Octahedral.

问题 4：在硅酸盐中，氧原子形成四面体空隙。四面体空隙的极限半径比为 0.22。氧化物的半径为 1.4 Å。找出阳离子的半径。

解决方案：

Given that:
Radius of oxide (r⁻) = 1.4 Å

Radius ratio = 0.22

Radius ratio = r⁺ / r^–

0.22 = r⁺ / 1.4

r⁺ = 0.22 × 1.4

r⁺ = 0.308 Å 

问题5：如果阳离子的半径是96 pm，而阴离子的半径是618 pm。确定晶格的配位数和结构。

解决方案：

Given that:

Radius of cation (r⁺) = 96 pm

Radius of anion (r⁻) = 618 pm

Radius ratio = r⁺ / r^–

= 96 / 618

= 0.1553

Since the radius ratio lies in between the range 0.155 to 0.225.

The coordination number of crystal is 3 And the structure of crystal lattice is Trigonal planar.

问题6：Br ^-离子形成密排结构。如果 Br ^-离子的半径是 195 pm。计算刚好适合四面体孔的阳离子的半径。半径为 82 pm 的阳离子 A ⁺能否滑入晶体 A ⁺ Br ^–的八面体孔中？

解决方案：

Given that:

Radius of anion (Br^–)(r^–) = 195 pm

Radius of cation (A) (r⁺) = 82 pm

Here we have to find the radius of the cation that just fits into the tetrahedral hole and determine whether the cation A⁺ having a radius of  82 pm can be slipped into the octahedral hole of the crystal

Limiting value for r⁺ /r^– for tetrahedral hole is 0.225 – 0.414

So, Radius of the tetrahedral hole = Radius ratio × r^–

= 0.225 × 195

= 43.875 pm

For cation A⁺ with radius = 82 pm

Radius ratio = r⁺/r^–

= 82 / 195

= 0.4205

As it lies in the range 0.414 – 0.732, hence the cation A⁺ can be slipped into the octahedral hole of the crystal A⁺Br⁻.

问题7：根据半径比确定MgS的结构和配位数，其中Mg2+和S2-的半径分别为65 pm和184 pm。

解决方案：

Given that:

Radius of cation Mg₂⁺ (r⁺) = 65 pm

Radius of anion S₂⁻ (r^–) = 184 pm

Radius ratio = r⁺ /r^– 

= 65 / 184

= 0.3533

Since the radius ratio lies in between 0.225 – 0.414 the coordination number of MgS is 4 and the structure of MgS is Tetrahedral.

问题 8：固体 AB 具有 ZnS 型结构。如果阳离子半径为 50 pm，计算阴离子半径 B ^–的最大可能值。

解决方案：

Given that:

Radius of cation (r+) = 50 pm

Radius ratio = r⁺ /r^– 

ZnS has tetrahedral arrangement.

The range of r⁺/r^–  for stable four fold coordination is 0.225 to 0.414

Hence the radius of anion can be calculated by

taking r⁺ / r^–  = 0.225

∴ r^– = r⁺ / 0.225

= 50 / 0.225

= 222.22 pm