给定半径的n边规则多边形的面积

本文介绍如何根据给定的半径和边数计算出n边规则多边形的面积。

公式推导

n边规则多边形可以等分为n个等边、等角的三角形，因此，我们只需要计算出一个三角形的面积，再乘以n即可得到多边形的面积。

如上图所示，设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积可以用公式计算：

$S=\dfrac{1}{2}bh$

根据勾股定理可得：

$(\dfrac{1}{2}b)^2+h^2=r^2$

解得$h=\sqrt{r^2-(\dfrac{1}{2}b)^2}$

将$h$代入面积公式中，得：

$S_n=\dfrac{1}{2}b\sqrt{r^2-(\dfrac{1}{2}b)^2}$

其中，$S_n$表示$n$边规则多边形的面积。

又因为$n$边规则多边形的内角和为$(n-2)×180^\circ$，因此每个内角为$\dfrac{(n-2)×180^\circ}{n}$，通过三角函数计算可得：

$b=2r\sin\dfrac{\pi}{n}$

将$b$代入上式，可得：

$S_n=\dfrac{1}{2}(2r\sin\dfrac{\pi}{n})\sqrt{r^2-(2r\sin\dfrac{\pi}{n})^2}$

化简后得：

$S_n=\dfrac{1}{2}r^2n\sin\dfrac{2\pi}{n}$

代码实现

Python代码实现如下：

import math

def polygon_area(n, r):
    """
    返回给定半径r的n边规则多边形的面积
    :param n: 边数
    :param r: 半径
    :return: 多边形面积
    """
    return 0.5 * r ** 2 * n * math.sin(2*math.pi/n)

示例

假设半径为3，边数为6，则可以通过如下代码调用polygon_area函数计算出6边规则多边形的面积：

area = polygon_area(6, 3)
print(area)

输出结果为：

23.382685902179844

因此，半径为3、边数为6的规则六边形的面积为23.3827。