求和为二进制字符串S所需的最小操作数

在计算机科学中，二进制字符串通常用于表示数字。给定两个二进制字符串S1和S2，求它们的和，返回其二进制形式的字符串S。

本题中，我们需要统计将S1、S2相加得到S所需的最小操作数。具体而言，我们需要进行若干次以下三种操作中的一种：

• 插入字符：对S1或S2的一个位置插入一个字符；
• 删除字符：删除S1或S2的一个字符；
• 替换字符：将S1或S2的一个字符替换为另一个字符。

要想求得最小操作数，我们通常会使用动态规划。我们可以定义二维数组dp，其中dp[i][j]表示S1的前i个字符与S2的前j个字符之和所需的最小操作数。

我们可以按顺序考虑S1和S2中的每一对字符。具体而言，当考虑S1的第i个字符和S2的第j个字符时，若S1[i]和S2[j]相等，则dp[i][j]可以由dp[i-1][j-1]转移而来；若S1[i]和S2[j]不相等，则dp[i][j]可以由dp[i-1][j-1]、dp[i][j-1]和dp[i-1][j]转移而来。

根据上述定义，我们有以下转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，当S1[i]==S2[j]
dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],dp[i][j-1],dp[i-1][j])+1，当S1[i]!=S2[j]

最终，我们可以得到dp[len(S1)][len(S2)]即为所求的最小操作数。

完整代码片段如下所示（Python实现）:

def minOperate(S1: str, S2: str) -> int:
    m, n = len(S1), len(S2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(m + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(n + 1):
        dp[0][j] = j
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if S1[i - 1] == S2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1
    return dp[m][n]

其中，输入参数S1和S2分别表示两个二进制字符串，输出为它们的和的最小操作数。minOperate("1010", "1111")这样的调用将返回2，表示将"1010"和"1111"相加得到"11001"所需的最小操作数为2。

上述代码的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为S1和S2的长度。因此，在输入规模较小的情况下，这种动态规划的实现方式还是比较高效而可行的。