题目介绍

给定一个已排序的数组，求其所有可能的长度为 K 的子序列中位数的最小总和。

例如，数组 [1,2,3,4,5]，K = 3，可能的子序列有 [1,2,3]、[1,2,4]、[1,2,5]、[1,3,4]、[1,3,5]、[1,4,5]、[2,3,4]、[2,3,5]、[2,4,5]、[3,4,5]，其中中位数的值分别为 2、2、3、3、4、4、3、4、4、4，所以最小总和为 2+2+3+3+4+4+3+4+4+4=33。

解题思路

首先需要明确一个事实：对于一个排好序的数组，长度为 K 的子序列的中位数只会在数组的第 K/2 个位置或第 K/2+1 个位置出现，因此根据该位置的值作为中位数来判断是否符合要求即可。

使用动态规划的思想来解决该问题。设 dp[i][j] 表示将前 i 个元素拆分为长度为 j 的子序列，所能达到的最小中位数总和。由于中位数只会在第 j/2 个位置或第 j/2+1 个位置出现，因此有以下两种情况：

• 将第 i 个元素放在当前子序列的第 j/2+1 个位置中，此时第 1 个到第 i-1 个元素必须要组成长度为 j/2 的子序列，即 dp[i-1][j/2]。因为后面 j/2 长度的位置已被放置了值，所以剩余的位置只能从前面的元素中选择，因此要让前 i-1 个元素中的最后一个成为该子序列的中位数，即 dp[i-1][j/2-1]。
• 将第 i 个元素放在当前子序列的第 j/2+2 个位置中，此时第 1 个到第 i-1 个元素必须要组成长度为 j/2+1 的子序列，即 dp[i-1][j/2+1]。因为后面 j/2+1 长度的位置已被放置了值，所以剩余的位置只能从前面的元素中选择，因此要让前 i-1 个元素中的最后一个成为该子序列的中位数，即 dp[i-1][j/2]。

综上所述，状态转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i-1][j/2] + dp[i-1][j/2-1] + nums[i-1]*j, dp[i-1][j/2+1] + dp[i-1][j/2] + nums[i-1]*j)，其中 nums[i-1] 为原数组中第 i 个元素的值。

最终结果为 dp[n][k]，其中 n 为原数组的长度。

代码实现

def min_median_sum(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = nums[i-1] * k

    for i in range(2, n+1):
        for j in range(2, k+1):
            if j % 2 == 0:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j/2] + dp[i-1][j/2-1] + nums[i-1]*j, dp[i-1][j/2+1] + dp[i-1][j/2] + nums[i-1]*j)
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j//2] + dp[i-1][j//2+1] + nums[i-1]*j, dp[i-1][j//2+1] + dp[i-1][j//2+1] + nums[i-1]*j)

    return dp[n][k]

总结

本题是一道经典的动态规划题目，通过本题可以加深对于动态规划的理解。需要注意的是，在计算 dp[i][j] 时需要根据 j 的奇偶性分别处理。