排序数组的所有子数组的最小元素的总和

问题描述

给定一个由非负整数构成的长度为 n 的数组 nums ，代表一个由 nums[0] 到 nums[n - 1] 升序排列的数组。

请你返回每个 子数组 的最小元素的 总和。

其中，子数组定义为原数组中的一个连续的下标序列。

请注意，大小为 k 的子数组共有 n - k + 1 个，其中 k 是子数组的大小。

例如，[1,2,3]、[2,3]、[1,2] 都是不同的子数组。

解决方案

对于每个子数组，我们需要找到其中的最小值并加到总和中。对于长度为 k 的子数组，最小值的位置一定是在该子数组中，在该子数组的所有元素中遍历一遍即可。因此，我们可以使用两层循环遍历所有子数组和子数组中的元素，时间复杂度为 $O(n^2)$。

但是，我们可以利用单调栈来优化此算法。具体地，我们维护一个单调递增栈 stack，遍历原数组 nums 时，如果当前元素 num 大于栈顶元素，则直接将其入栈；否则，我们将栈顶元素弹出，并加上弹出元素在原数组中左边、右边第一个小于其的元素的位置之积，加到总和中。我们可以证明，这样的操作可以保证在每个子数组中都找到了最小值。

据此，我们可以使用单调栈在 $O(n)$ 时间内遍历原数组，得到所有子数组的最小值的总和。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

class Solution:
    def sumSubarrayMins(self, nums: List[int]) -> int:
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        stack = []
        res = 0
        nums = [0] + nums + [0]
        for i, num in enumerate(nums):
            while stack and nums[stack[-1]] > num:
                j = stack.pop()
                k = stack[-1]
                res += nums[j] * (i - j) * (j - k)
            stack.append(i)
        return res % (10**9 + 7)

总结

本问题通过单调栈的优化，提高了算法的时间复杂度。同时，本问题也展示了单调栈在解决相关问题中的威力。