题目介绍

我们有一个纸牌游戏，有一个堆，堆里有 $n$ 张牌，每个回合我们需要移除 $k$ 张牌，其中 $k$ 和 $n$ 的按位与为 $0$，也就是说二进制下 $k$ 和 $n$ 每一位都不相同。

现在我们需要预测最终的获胜者是哪个玩家。

解题思路

这是一道数学大杀器题目，我们需要掌握一些数学基础准备才能有效地解决它。

首先我们要明确一个知识点：如果一个数字 $x$ 的二进制表示前 $n$ 位均为 $1$，那么它的按位与一定等于 $2^n - 1$。

例如 $x=110111_2$，前 $4$ 位均为 $1$，所以 $x$ 和 $1111_2$ 的按位与一定等于 $1111_2$，即 $15$。

我们可以用这个知识点来有效地解决本题。

我们可以发现，如果我们要使 $k$ 和 $n$ 的按位与为 $0$，那么 $k$ 的二进制表示中不能有和 $n$ 中相同的 $1$ 的位置。

举个例子，假设 $n=1010_2$，也就是十进制下的 $10$，那么我们可以选择的 $k$ 的二进制表示如下：

• $0000_2$：移除 $0$ 张牌，和 $n$ 的按位与为 $0$；
• $0001_2$：移除 $1$ 张牌，和 $n$ 的按位与为 $0$；
• $0010_2$：移除 $2$ 张牌，和 $n$ 的按位与为 $0$；
• $0100_2$：移除 $4$ 张牌，和 $n$ 的按位与为 $0$；
• $1000_2$：移除 $8$ 张牌，和 $n$ 的按位与为 $0$。

通过上面的列表，我们可以发现规律，也就是 $k$ 从 $0$ 到 $2^n-1$ 都是可行的。

因此我们可以直接判断 $n$ 是否为 $2$ 的幂次方，如果是，则先手必输，否则先手必胜。

代码如下所示：

def predict_winner(n: int) -> str:
    return "A" if n & (n - 1) != 0 else "B"

总结

本题利用了按位与运算符的性质，同时也利用了二进制的性质，最终得出了本题的解法。