谜题76 |切换牢房

有一座监狱，由 1000 个牢房组成，编号从 1 到 1000。

• 每个单元格都可以用“+”或“-”号标记。最初，所有单元格都标有“-”号。
• 从第 1 天到第 1000 天，狱卒将单元格上的标记从 + 切换到 –，反之亦然。
• 在第 i 天，单元格上的标志是 i 的倍数被切换。
• 现在在第 1001 天的验证过程中，所有标有 + 号的单元格都已打开。

你能识别带有“+”号的单元格编号吗？

解：单元格编号为 1、4、9、16、25、36 等。

解释：

一个单元格被切换的次数与其拥有的除数一样多。例如，让我们以单元格编号 20 为例，它会在第 1、2、4、5、10 和 20 天切换。

• 现在我们可以看到除数成对出现，如 20=1*20=2*10=4*5。我们可以看到除数的总数是偶数。但如果数字是一个完美的平方，则不会遵循这种趋势。
• 在完全平方中，除数的总数是奇数。我们看到单元格最初标有 – 符号，只有编号为完全平方的单元格更改为 + 符号，因为它具有奇数个除数。

这些单元格是1、4、9、16、25、36、49 等等。