在2 * N矩阵中精确制作C分量的方法数量

对于给定的2 * N矩阵，我们需要精确地在其中放置 C 个分量，使得每个分量都被完全包含在矩阵的一个 $1 * 2$ 的小矩阵中。我们需要计算有多少种不同的方法可以完成。

算法分析

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设 $dp_{i,j}$ 表示在前 $i$ 列中，有 $j$ 个完整的小矩阵包含了分量。当我们在第 $i+1$ 列上添加分量时，它可能成为当前列中某个小矩形的上部或下部分。因此，我们可以考虑两种状态转移：

• 将新分量放置在该列的上部，只需与上一列的上部小矩形组合即可，即 $dp_{i+1,j+1} += dp_{i,j}$。
• 将新分量放置在该列的下部，只需与上一列的下部小矩形组合即可，即 $dp_{i+1,j+1} += dp_{i,j}$。

状态转移方程如下：

$$ dp_{i+1,j+1} = dp_{i,j} + dp_{i+1,j} $$

边界条件为 $dp_{0,0} = 1$。

最终答案为 $dp_{2N,C}$。

时间复杂度为 $O(NC)$。

代码实现

def count_ways(n: int, c: int) -> int:
    dp = [[0] * (c + 1) for _ in range(n * 2 + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n * 2 + 1):
        for j in range(min(i, c) + 1):
            if j > 0:
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1]
            dp[i][j] += dp[i - 1][j]
    return dp[n * 2][c]

参考文献

• Codeforces 题目链接
• CF1077C Building a Fence 题解