携带所有礼物所需的最小包装盒

在圣诞节或生日等礼物交换场合中，我们需要将所有礼物打包在一起。为了方便携带和交换，我们需要找到一种能够包含所有礼物的最小包装盒。

问题描述

假设有$n$个礼物，每个礼物的体积分别为$v_1, v_2, ..., v_n$。我们需要将这$n$个礼物打包在一起，放在一个尽可能小的包装盒中。

解决方案

这个问题可以转化成一个经典的优化问题，即背包问题。具体来说，我们要求的是能够包含所有礼物的最小体积的背包。这个问题可以用动态规划来求解。

动态规划解法

定义一个二维数组$dp[i][j]$，表示前$i$个礼物中选取一些能够组成体积不超过$j$的最小值。则状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = \min{dp[i-1][j], dp[i-1][j-v_i]+v_i} $$

这个方程的意思是，我们可以选择不装第$i$个礼物，此时$dp[i][j]$就等于$dp[i-1][j]$；或者我们可以选择装第$i$个礼物，这时候$dp[i][j]$就等于$dp[i-1][j-v_i]$（因为已经装了一个$v_i$的体积），再加上$v_i$。

我们在填充$dp$数组时，需要考虑一些边界条件。首先，当$j<v_i$时，第$i$个礼物无法放入，此时$dp[i][j]=dp[i-1][j]$；另外，当$j\geqslant \sum_{k=1}^i v_k$时，所有礼物都可以放进去了，此时$dp[i][j]$就等于$\min{dp[i-1][j], \sum_{k=1}^i v_k}$。

初始化时，$dp[0][0]$为0，$dp[0][j]$为正无穷，因为我们不可能从空集合中选择出任意体积的礼物。

最终答案就是$dp[n][j]$中满足$dp[n][j]\leqslant \sum_{i=1}^nv_i$的最大$j$。为什么是这样呢？因为我们要找到的是最小的能够容纳所有礼物的包装盒，那么它的体积一定不会小于所有礼物体积之和，即$j\geqslant \sum_{i=1}^nv_i$。而满足这个条件的最小的$j$就是能够容纳所有礼物的最小包装盒。

代码实现

下面是Python的代码实现，时间复杂度为$O(n^2)$。

def min_package_box(n: int, v: List[int]) -> int:
    s = sum(v)
    dp = [[float('inf')] * (s+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(0, s+1):
            if j < v[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i-1]]+v[i-1])
    for j in range(s, -1, -1):
        if dp[n][j] <= s:
            return j

总结

以上就是携带所有礼物所需的最小包装盒的解法。这个问题可以用动态规划来求解，时间复杂度为$O(n^2)$。实际应用中，可以根据精度要求和数据规模选择不同的解法。