删除元素以最大化算术平均值的方法数量

在这个问题中，我们需要从列表中删除最小的一些元素，以便得到最大的平均值。更具体地说，我们的任务是删除 k 个元素，使列表的剩余元素的平均值最大。我们需要找到最大平均值和删除元素的数量。

解决方案

思路

首先，让我们将列表按降序排列。这样，我们可以轻松地找到最大的元素以及要删除的元素数量。

接下来，我们需要考虑要删除的元素数量。假设我们要删除 k 个元素。然后，我们需要从列表的最小元素开始删除 k 个元素。我们可以通过使用一个堆来很好地完成此操作，因为我们可以快速找到最小的元素。在删除 k 个元素后，我们可以计算列表的平均值，并与先前找到的最大平均值进行比较。如果新的平均值更大，则更新最大平均值和 k 的值。我们可以重复此过程，直到我们无法再删除元素为止。

伪代码

def maximum_average(a: List[int]) -> Tuple[float, int]:
    n = len(a)
    avg = sum(a) / n

    # sort the list in descending order
    a.sort(reverse=True)

    # find the maximum average in one pass
    max_avg = avg
    k = 0
    prefix_sum = [0] * n
    prefix_sum[0] = a[0]
    for i in range(1, n):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + a[i]
        if i + 1 >= k:
            j = i - k
            curr_avg = (prefix_sum[i] - prefix_sum[j]) / (i - j + 1)
            if curr_avg > max_avg:
                max_avg = curr_avg
                k += 1

    return max_avg, k

复杂度分析

时间复杂度：O(n log n)，其中 n 是列表的长度。我们需要对列表进行排序和计算前缀和。排序的时间复杂度为 O(n log n)，计算前缀和的时间复杂度为 O(n)。因此，总时间复杂度为 O(n log n)。

空间复杂度：O(n)，其中 n 是列表的长度。我们需要使用前缀和数组和堆来计算平均值。前缀和数组的空间复杂度为 O(n)，堆的空间复杂度为 O(k)，其中 k 是要删除的元素数量。因为 k 最大为 n，因此堆的空间复杂度为 O(n)。合并起来，总空间复杂度为 O(n)。

总结

这个问题需要我们具有对数学问题的直觉，以及对列表操作的熟悉。我们可以首先考虑如何找到最大平均值。然后，我们需要找到要删除的元素的数量。在这个问题中，我们可以通过从最小元素开始删除 k 个元素来计算平均值。我们可以使用一个堆来很好地完成此操作。最后，我们需要重复以上步骤，直到我们无法再删除元素为止。