可被给定素数整除的数最多为 M

在数论中，我们经常需要考虑一个数能否被另一个数整除的问题。如果我们已知一个素数集合，那么可以通过判断一个数能否被集合中的素数整除来得到更多的信息。本文将介绍如何在一个给定的素数集合下，求出能够被素数集合中的数整除的数的最大数量 M。

问题描述

给定一个素数集合 P，求一个最大的正整数 M 使得，存在一个正整数集合 S，其中每个元素都能被集合 P 中至少一个素数整除，且 |S| = M。

解决思路

为了解决该问题，我们需要采用一些基本的数论知识和算法。下面将分别介绍这些知识和算法，以及如何将它们组合起来求解问题。

整除分块

整除分块是一种常用的数论算法，用于对区间内的数进行分类，并可以在 O(1) 的时间内查询指定数所在的区间。在本题中，我们需要使用整除分块算法，将正整数集合 S 按照能被素数集合 P 中的素数整除的个数进行分类。

具体地，我们可以考虑在集合 S 中找一个最小的数 x，他能被素数集合 P 中的 k 个素数整除。然后，我们可以将 S 分为 k 个部分，第 i 个部分包含所有能被 S 中的数以及素数集合 P 中的 i 个素数整除，但不能被素数集合 P 中的 i-1 个素数整除的数。这样，我们就将原问题转化为了 k 个子问题。接下来，我们可以继续对每个子问题递归地进行整除分块，直到每个子问题中只剩下一个数。

整除分块可以极大地优化计算时间。在以上操作中，不同的数可能会被多次遍历，而整除分块可以保证每个数只会被遍历一次。因此，整个算法的时间复杂度为 O(MlogM)。

矩阵树定理

矩阵树定理是一种用来求图的生成树数量的重要算法。对于一个图 G，我们可以通过矩阵树定理来求出它的任何一个生成树的数量。在本题中，我们也可以使用矩阵树定理来求出能够被素数集合 P 中的素数整除的数的数量。

具体地，我们可以将整除分块后得到的 k 个子问题看作是一个有向无环图。其中，每个节点代表的是一个子问题中的数，边的权重表示这两个子问题中的数的最大公约数，即它们能够被多少个素数整除。此时，我们可以使用矩阵树定理来求出生成树的数量。

由于在整除分块的过程中，每个子问题只会和它的相邻子问题有边相连，因此生成树的数量实际上就是整个图中的一颗生成树的数量。于是，我们就可以根据矩阵树定理来求出能够被素数集合 P 中的素数整除的数的数量。

矩阵树定理是一种复杂度很低的算法，时间复杂度为 O(M^3)，其中 M 为矩阵的维度。

解决方案

基于以上思路，我们可以给出一个求解问题的具体方案。

具体地，我们可以按照以下步骤进行：

1. 对集合 S 进行整除分块，得到 k 个子问题。
2. 将每个子问题对应到有向无环图中，并使用矩阵树定理求出该子问题中能够被素数集合 P 中的素数整除的数的数量。
3. 将 k 个子问题中的数量相乘，得到能够被素数集合 P 中的素数整除的数的数量 M。

该方案的时间复杂度为 O(MlogM)，非常适合解决本题。

代码片段

本题的核心算法是整除分块和矩阵树定理。下面给出一个Python代码片段，用来实现该算法。

import math

# 每个节点代表的是一个子问题中的数
# 边的权重表示这两个子问题中的数的最大公约数
# n 为矩阵的维度
def matrix_tree(n, matrix):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            matrix[i][j] = abs(matrix[i][j])
            matrix[i][i] -= matrix[i][j]
    res = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(i + 1, n):
            gcd = math.gcd(matrix[i][j], matrix[j][i])
            matrix[i][j] //= gcd
            matrix[j][i] //= gcd
        res *= matrix[i][i]
    return res

# 整除分块，按照能够被集合 P 中的素数整除的个数进行分类
def divide(S, P):
    k = len(P)
    parts = [[] for i in range(k)]
    for x in S:
        cnt = 0
        for i in range(k):
            if x % P[i] == 0:
                cnt += 1
        parts[cnt-1].append(x)
    return parts

# 给定素数集合 P 和正整数集合 S
# 求能够被集合 P 中的素数整除的数的最大数量 M
def max_divisible_num(P, S):
    parts = divide(S, P)
    k = len(parts)
    matrix = [[0] * k for i in range(k)]
    for i in range(k):
        for j in range(i + 1, k):
            cnt = 0
            for x in parts[i]:
                for y in parts[j]:
                    for p in P:
                        if p > max(x, y):
                            break
                        if x % p == 0 and y % p == 0:
                            cnt += 1
                            break
            matrix[i][j] = cnt
            matrix[j][i] = cnt

    M = matrix_tree(k, matrix)
    return M

代码中的 max_divisible_num(P, S) 函数接受一个素数集合 P 和正整数集合 S，返回能够被素数集合 P 中的素数整除的数的最大数量 M。内部使用了 divide(S, P) 和 matrix_tree(n, matrix) 两个函数，分别用来进行整除分块和使用矩阵树求解。完整代码请参考下面的链接。

结论

本文介绍了如何解决一个在数论中常见的问题：给定一个素数集合 P，求一个能够被集合 P 中的素数整除的数的最大数量 M。可以使用整除分块算法和矩阵树定理来求解该问题，并给出了Python代码片段用于实现该算法。