完美平方三项式

完美平方三项式是当一个二项式与自身相乘时，它给出一个由三个项和这个表达式组成的表达式。完全平方三项式在其代数表达式中由变量项和常数项组成。它可以用 ax ² + bx +c 的形式表示，其中 x 是变量，a、b、c 是实数。

示例： (x + 2) × (x + 2) = x ² + 4x + 4 是完美平方三项式，其中 (y + 2) 是二项式表达式。

现在让我们来了解一下二项式，所以二项式是算术表达式，它是通过将两个项按一个正号或一个负号组合而成的。

示例：(x + 5)、(x – 5) 是二项式表达式。

完全平方三项式的性质

• 它是由二项式与自身相乘形成的。
• 它可以用公式 ax ² + bx+c 表示，其中 a、b、c 是实数，前提是 a 不应该等于 0。
• 可以使用两个恒等式 (a + b) ² = (a ² + 2×a×b + b ² ) 和 (a – b) ² = (a ² -2×a×b +b ² ) 来解决
• 可以求解得到两个相等的二项式。

完美平方三项式

完美平方三项式的公式由两个表达式给出

(ax + b) ² = (ax) ² + 2×(ax)×(b) + b ²

例子：

Lets take expression x² + 10x + 25

According to above formula  (ax)² = x² so a = 1

b² = 25 so b = 5

2×(ax)×(b) = 10×x which is true

Hence the given expression is a Perfect Square Trinomial and can be decomposed to binomial expression by using the above formula.

So (x + 5)² = x² + 10x + 25

(ax – b) ² = (ax) ² – 2×(ax)×(b) + b ²

例子：

Lets take expression x² – 10x + 25

According to above formula  (ax)² = x² so a = 1

b² = 25 so b = 5

2×(ax)×(b) = 10×x which is true

Hence the given expression is a Perfect Square Trinomial and can be decomposed to binomial expression by using the above formula.

So (x – 5)² = x² – 10x + 25

示例问题

问题 1：求代数表达式 x ² + 6x + 9 的完美平方三项式的因数。

解决方案：

For the given algebraic expression x² + 6x + 9 

It is clear that it can be represented in the form (ax)² + 2×(ax)×b + b². 

So factors of the equation ((ax)² + 2axb + b²) are (ax+b) and (ax+b).

Here, a = 1

b² = 9 so b = 3

and 2axb = 6x.

Therefore, the factors are (x + 3) (x + 3).

问题 2：求代数表达式 9x ² + 24x + 16 的完美平方三项式的因子。

解决方案：

For the given algebraic expression 9x² + 24x + 16

It is clear that it can be represented in the form (ax)² + 2×(ax)×b + b².

So factors of the equation ((ax)² + 2axb + b²) are (ax+b) and (ax+b).

Here, (ax)² = 9x²

so a = 3

b² = 16 so b = 4

and 2axb = 24x.

Therefore, the factors are (3x + 4) (3x + 4).

问题 3：求代数表达式 x ² – 6x + 9 的完美平方三项式的因子。

解决方案：

For the given algebraic expression x² – 6x + 9

It is clear that it can be represented in the form (ax)² – 2×(ax)×b + b².

So factors of the equation ((ax)² – 2axb + b²) are (ax-b) and (ax-b).

Here, a = 1

b² = 9 so b = 3

and 2axb = 6x.

Therefore, the factors are (x – 3) (x – 3).

问题 4：求代数表达式 9x ² – 24x + 16 的完美平方三项式的因子。

解决方案：

For the given algebraic expression 9x² – 24x + 16

It is clear that it can be represented in the form (ax)² + 2×(ax)×b + b².

So factors of the equation ((ax)² – 2axb + b2) are (ax-b) and (ax-b).

Here, (ax)² = 9x²

so a = 3

b² = 16 so b = 4

and 2axb = 24x

Therefore, the factors are (3x – 4) (3x – 4).

问题 5：求代数表达式 4x ² + 12x + 9 的完美平方三项式的因子。

解决方案：

For the given algebraic expression 4x² + 12x + 9

It is clear that it can be represented in the form (ax)² + 2×(ax)×b + b².

So factors of the equation ((ax)² + 2axb + b²) are (ax+b) and (ax+b).

Here, (ax)² = 4x²

so a = 2

b² = 9 so b = 3

and 2axb = 12x.

Therefore, the factors are (2x + 3) (2x + 3).