统计给定字符串中有效对(X,Y)的计数

问题概述

给定一个字符串，假设其中含有多个不同的子字符串，要统计其中满足条件的子字符串对 $(X,Y)$ 的个数，其中 $X$ 和 $Y$ 是不同的子字符串，且将 $X$ 和 $X$ 连接起来得到 $Y$。

解决思路

枚举所有可能的 $X$ 和 $Y$

首先，我们可以枚举所有可能的 $X$ 和 $Y$，然后判断 $X$ 和 $Y$ 是否符合条件。但是这个方法的时间复杂度较高，是 $O(n^3)$ 的，其中 $n$ 是字符串的长度。

枚举所有可能的 $X$ 和 $Y$ 的前缀

考虑如何优化枚举所有可能的 $X$ 和 $Y$ 的时间复杂度。

我们可以用哈希表来保存已经出现过的子字符串，然后枚举所有可能的 $X$（其实 $Y$ 也可以），并利用哈希表来确定其能否成为另一个字符串的前缀。如果能，就再利用哈希表来判断剩下的部分是否也在原字符串中出现过。

这种方法的时间复杂度是 $O(n^2)$。

利用 Trie 树优化哈希表

我们还可以进一步优化哈希表的时间复杂度。可以使用 Trie 树（字典树）来存储已经出现过的子字符串。在查询是否存在某个字符串的前缀时，利用 Trie 树可以达到 $O(k)$ 的时间复杂度，其中 $k$ 是所查询的字符串的长度。

这种方法的时间复杂度是 $O(n\log n)$。

代码片段

以下是基于 Trie 树的实现方法。

import collections

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = collections.defaultdict(TrieNode)
        self.is_end = False

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()

    def insert(self, word):
        node = self.root
        for c in word:
            node = node.children[c]
        node.is_end = True

    def search_prefix(self, word):
        node = self.root
        for c in word:
            if c not in node.children:
                return False
            node = node.children[c]
        return True if node.is_end else False

def count_substring_pairs(s):
    def is_valid_pair(x, y):
        if len(x) >= len(y) or y[:len(x)] != x or not trie.search_prefix(y[len(x):]):
            return False
        return True

    trie = Trie()
    for i in range(len(s)):
        trie.insert(s[i:])

    cnt = 0
    for i in range(len(s)):
        for j in range(i+1, len(s)):
            if is_valid_pair(s[i:j], s[j:]):
                cnt += 1

    return cnt

以上代码片段为 Python 代码，请确保已经正确安装了相关的包和 Python 版本。