什么是金三角？
在日常生活中，我们会看到很多不同的形状，比如学习桌是长方形或正方形，水瓶是圆柱形，地球仪是球体，手表是圆形等。要研究这些形状、大小、角度数学的分支是必需的，而那个分支是几何。
金三角
顾名思义，它不是金色的三角形。在深入研究之前，让我们先了解黄金比例。
黄金比例
它是用于表示几何中距离比率的数字。它用“phi”或 φ 表示。两个维度代表一个黄金比例，如果这两个维度的比率等于这些维度的总和与这两个维度中最大的一个的比率。换一种说法，
(a + b)/a = a/b = φ，其中 a > b > 0
说到φ，
φ 是一个无理数，它是二次方程 x 2 - x - 1 = 0 的解，
φ = 5√2 + 1 = 1.6180339887… = 约 1.62
现在，让我们了解金三角的概念。
黄金三角形是上图a和b之比的等腰三角形，也就是说，斜边和底边的比等于黄金比例。
a/b = phi 或 φ。
它也被称为崇高三角形。
So, the vertex angle is equal to,
θ = sin-1(b ⁄ (2 × a))
θ = 2 × sin-1(1 ⁄ (2 × φ))
θ =1 ⁄ (5 × π) = 36°
So, the height (let h) and base (let b) of this triangle is related as,
4 × h2 = b2 × (5 + 2√5)
找到两个具有黄金比例属性的量
让我们一步一步来-
Step-1: First create an isosceles triangle with interior angles of 72°, 36° and 72°.
Step-2 Bisect one of the 72° angle.
Step-3 Now solve value of angle α.
In ΔABD,
36°+ 36° + α = 180°
72° + α = 180°
α = 108°
Value of α = 108°
Step-4 Now solve value of angle β.
In ΔACD,
36°+ 72° + β = 180°
108° + β = 180°
β = 72°
Value of β = 72°
Step-5 Now ΔABC and ΔDAC are similar triangles because their angles are same.
Therefore by similar triangles property,
BC ⁄ AC = AD ⁄ DC ⇢ eq (1)
But triangle ABD is also isosceles, Therefore BD = AD, and ΔADC is also isosceles so, AD = AC,
Thus, BD = AD = AC ⇢ eq (2)
From eq (1) and eq (2):
BC ⁄ BD = BD ⁄ DC
Point D divides line BC into a golden ratio, Let’s Compare
BC ⁄ BD = BD ⁄ DC is same as (a + b) ⁄ a = a ⁄ b, i.e, golden ratio.
金色晷
在上图中，有两种类型的三角形，
1. ΔABD – 角度为 1:1:3
2. ΔADC – 角度为 2:2:1。
现在，角度为 2:2:1 的三角形称为金三角。另一方面，角度为 1:1:3 的三角形被称为金针。
Golden gnomon – 它是一个钝角等腰三角形，其相等（较短）边的长度与第三边的长度之比是黄金比例的倒数。
金三角与毕达哥拉斯五角大楼的关系
在上图中，五边形用金色三角形（绿色）和金色晷（灰色）填充。让我们求内五边形（下图中的深绿色）与整个图形的面积之比。
a ⁄ b = ϕ（黄金比例）和 b ⁄ c = ϕ，因此由此 a ⁄ c = ϕ 2 。
因为两人是相似的人物，
所以可以得出结论，
内五边形的面积（深绿色）= 1 ⁄ φ 4 ×（整个五边形面积）。
金三角的应用
现在，在了解了金三角之后，一定会思考它在现实生活中是如何使用的，那么让我们深入研究一下它的应用。
- 在建筑中：用于确定布局的尺寸。
- 对数螺旋：金三角用于形成对数螺旋的一些点。
- 它在绘画、演示、照片中还有许多其他应用。
示例问题
问题1：检查三角形ABC是否是金三角，角A = 68°，B = 41 ° ，C = 71 °。
解决方案：
No.
Explanation:
By observing carefully,
Triangle ABC is not an isosceles triangle as no two angles are equal. So, it can’t be a golden triangle as for being golden triangle mandatory condition is to being isosceles first.
问题2：检查三角形ABC是否为金三角形，边AB = 208 cm，B = 203 cm，C = 145 cm。
解决方案：
No.
Explanation:
By observing carefully,
Triangle ABC is not an isosceles triangle as no two sides are equal. So, it can’t be a golden triangle as for being golden triangle mandatory condition is to being isosceles first.
问题3：检查三角形的两条边是否处于黄金比例 AB = 61.77，BC = 38.22。
解决方案：
Yes.
Explanation:
1. AB ⁄ BC = 61.77 ⁄ 38.22 = 1.61 approx
2. (AB + BC) ⁄ AB = 99.99 ⁄ 61.77 = 1.61 approx
As, both 1 and 2 are equal so they are in golden ratio.
问题4：检查三角形的两条边是否处于黄金比例 AB = 0.618，BC = 1.333。
解决方案：
No.
Explanation:
Largest quantity should be in denominator
1. BC ⁄ AB = 1.333 ⁄ 0.618 = 2.15 approx
2. (AB + BC) ⁄ BC = 1.951 ⁄ 1.333 = 1.46 approx
As, both 1 and 2 are not equal so they are not in golden ratio.
问题 5：检查三角形 ABC 是否为金三角形，其中角 A = 72°，B = 72°，C = 36°。
解决方案：
Yes.
Explanation:
By observing carefully,
Triangle ABC is an isosceles triangle as two angles are equal. And ratio of angles is 2:2:1 which is standard property for being a golden triangle.
问题 6：检查三角形 ABC 是否为金三角形，其中角 A = 76°，B = 72°，C = 34°。
解决方案：
No.
Explanation:
By observing carefully,
Triangle ABC is not even a valid triangle as sum of angles A + B + C = 76 + 72 + 34 = 182°. But the sum of angles of triangle should be 180°.