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📜  布尔逻辑简介

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:53.156000             🧑  作者: Mango

布尔逻辑简介

布尔代数是一种通过操作二进制系统创建的代数。 1854 年，英国数学家乔治·布尔提出了这个代数。这是亚里士多德命题逻辑的变体，它使用符号 0 和 1，或真假。布尔代数与二进制变量和逻辑运算有关。

布尔表达式和变量

布尔表达式是在计算时产生布尔值的表达式，真或假，这是表达布尔值的唯一方法。而布尔变量是存储布尔数字的变量。 P + Q = R 是一个布尔短语，其中 P、Q、R 是布尔变量，只能存储两个值：0 和 1。计算机使用二进制 0 和 1 执行所有操作，因为计算机理解机器语言（0/1 ）。布尔逻辑，以乔治布尔命名，是一种代数，其中所有的值都被简化为两种可能性之一：1 或 0。要有效地理解布尔逻辑，我们必须首先理解布尔逻辑的规则，以及真理表和逻辑门。

真值表

真值表以表格的方式表示输入值和输出的各种组合。输入和输出的所有可能性都显示在其中，因此保留了名称真值表。在布尔代数和电子电路等逻辑问题中，通常使用真值表。 T 或 1 表示真值表中的“真”和 F 或 0 表示“假”。

逻辑门

逻辑门是执行布尔函数的虚拟或物理设备。这些用于制作逻辑电路。逻辑门是任何数字系统的主要组成部分。该电路只能有一个输出和一个或多个输入。输入和输出之间的关系由特定的逻辑控制。 AND，OR，NOT门等是逻辑门的例子。

逻辑门的类型

1.与门（乘积）：具有两个或多个输入和一个输出的逻辑门称为与门。逻辑乘法规则用于操作与门。与门可以有任意数量的输入，但最常见的是二输入和三输入与门。如果任何输入为低 (0)，则此门中的输出也为低。当所有输入都为高 (1) 时，输出也将为高。

逻辑电路：

真值表：

对于与门，当且仅当输入 P 和 Q 都为真时，输出 X 为真。所以与门的真值表如下：

ABX = A.B
TTT
TFF
FTF
FFF

2. 或门（和）：执行逻辑或运算的逻辑门称为或门。如果门的一个或两个输入为高电平，则逻辑或运算会产生高电平输出 (1)。 (1)。如果两个输入都不是高电平，则结果是低电平输出 (0)。与与门可以有无限数量的输入探针一样，或门只能有一个输出探针。逻辑或门找到两个二进制数字之间的最大值。

逻辑电路：

真值表：

对于 OR 门，当且仅当输入 P 或 Q 中的任何一个为真时，输出 X 才为真。所以或门的真值表如下：

PQX = P.Q
TTT
TFF
FTF
FFF

3. 非门（补码）：反相非门是那些只接受一个输入且输出电平通常为逻辑电平 1 并在其单个输入为逻辑电平 1 时变为低电平至逻辑电平 0 的器件，或换句话说，它们反转输入信号。只有当输入为逻辑电平 0 时，NOT 门的输出才会返回高电平。单个输入 NOT 门的输出 ~P（~ 表示 Not）仅在输入 P 为假时为真，或者我们可以说，不是真。它也被称为逆门，因为它导致输入布尔表达式的否定。

逻辑电路：

真值表：

对于非门，当且仅当输入 P 为假时，输出 X 为真。所以非门的真值表如下：

PQX = P + Q
TTT
TFT
FTT
FFF

4. 与非门：称为与非门的逻辑门仅在其所有输入为真时提供低输出 (0)，否则提供高输出 (1)。结果，与非门是与门的逆，它的电路是通过连接与门和非门来创建的。 NAND 表示“非与”门，只有当输入 P 和 Q 都为真时才会导致假。 AND 门（与 NOR 门一起）被称为通用门，因为它们是一种逻辑门形式，无需使用任何其他门类型即可实现任何布尔函数。

逻辑电路：

真值表：

对于与非门，当且仅当两个输入（即 P 和 Q）都为真时，输出 X 为假。所以与非门的真值表如下：

P~P
TF
FT

5. 或非门：称为或非门的逻辑门仅在其所有输入为假时提供高输出（1），否则提供低输出（0）。因此，或非门是或门的逆，它的电路是通过连接或门和非门来创建的。 NOR 表示“不属于 OR”门，只有当输入 P 和 Q 都为假时才会产生真。

逻辑电路：

真值表：

对于与非门，当且仅当两个输入（即 P 和 Q）都为假时，输出 X 为真。所以或非门的真值表如下：

PQ~(P.Q)
TTF
TFT
FTT
FFT

6、异或门：异或门（也称为异或门）是一种进行异或运算的数字逻辑门，具有两个或多个输入和一个输出。只有一个 XOR 门的输入必须为真，才能使输出为真。如果两个输入都为假，则异或门的输出为假，如果两个输入都为真，则输出为真。 XOR 表示“异或”门，仅当 2 个输入 P 和 Q 中的任何一个为真时才会产生真，即 P 为真或 Q 为真，但不能同时为真。

逻辑电路：

真值表：

PQX = ~(P + Q)
TTF
TFF
FTF
FFT

7. XNOR门： NOR门（也称为Exclusive NOR门）是与XOR门正好相反的数字逻辑门。它有两个或多个输入和一个输出。当它的两个输入之一为真但不是两者都为真时，它将返回假。 XNOR 表示“异或”门，只有当其输入 P 和 Q 都为真或假时，结果才为真。

逻辑电路：

真值表：

PQX = P ⊕ Q
TTF
TFT
FTT
FFF

布尔逻辑定律

以下是布尔逻辑的一些规律：

PQX = P XNOR Q
TTT
TFF
FTF
FFT

德摩根定律

德摩根定律指出：

语句 1：两个布尔变量（或表达式）的积（AND）的补码等于每个布尔变量（或表达式）的补码的和（OR）。

证明：

语句：~(PQ) = (~P) + (~Q)

真值表是：

LawOR formAND form
Identity LawP + 1 = P P.0 = P
Idempotent LawP + P = PP.P = P
Commutative LawP + Q = Q + PP.Q = Q.P
Null Law1 + P = P0.P = P
Inverse LawP + (~P) = 1P.(~P) = 0
Associative LawP + (Q + R) = (P + Q) + RP.(Q.R) = (P.Q).R
Distributive LawP + QR = (P + Q).(P + R)P.(Q + R) = P.Q + P.R
Absorption LawP + PQ = PP.(P + Q) = P
De Morgan’s Law~(P + Q) = (~P).(~Q)~(P.Q) = (~P) + (~Q) 

我们可以清楚地看到~(PQ) 的真值等于 (~P) + (~Q) 的真值，对应于相同的输入。

语句 2：两个布尔变量（或表达式）的求和（或）的补等于每个布尔变量（或表达式）的补的乘积（与）。

证明

语句：~(P+Q) = (~P).(~Q)

真值表是：

PQ (~P) (~Q)~(P.Q)(~P)+(~Q) 
TTFFFF
TFFTTT
FTTFTT
FFTTTT

我们可以清楚地看到~(P + Q) 的真值等于 (~P).(~Q) 的真值，对应于相同的输入。

逻辑电路

一种电路，我们可以在其中提供一个或多个二进制输入（假设两种状态，开或关），并且我们以一种可以描述为符号逻辑中的函数的方式获得与输入相对应的单个二进制输出。 AND、OR 和 NOT 门是执行逻辑功能的基本逻辑电路——分别是 AND、OR 和 NOT。计算机可以使用电路完成比仅使用单个门更复杂的任务。

示例问题

问题 1. 什么是通用门？

解决方案：

问题 2. 设计逻辑电路： AB + BC

解决方案：

问题 3. 以下逻辑电路的布尔表达式是什么：

解决方案：

问题 4. 使用真值表验证：P + PQ = P

解决方案：