威布尔图

威布尔图是一种图形技术，用于确定数据集是否来自逻辑上符合 2 参数威布尔分布的总体。在详细讨论威布尔图之前，我们首先需要了解威布尔分布。

威布尔分布：

Weibull 分布的概率密度分布公式为：

$f(x) = \frac{\gamma} {\alpha} (\frac{x-\mu} {\alpha})^{(\gamma - 1)}\exp{(-((x-\mu)/\alpha)^{\gamma})} \hspace{.3in} x \ge \mu; \gamma, \alpha > 0$

其中，Y (gamma) 是形状参数，u (mu) 称为位置参数，∝ (alpha) 称为尺度参数。 u=0 且∝=1 的情况称为标准威布尔分布。

二参数威布尔分布：

两个参数 Weibull 分布是 Weibull 分布的特例，其中 u=0。在这种情况下，标准威布尔分布的方程简化为：

$f(x) = \gamma x^{(\gamma - 1)}\exp(-(x^{\gamma})) \hspace{.3in} x \ge 0; \gamma > 0$

威布尔分布的累积分布函数公式为：

$F(x)=1−e^{−(xγ)} \hspace{.1in}x\ge 0;γ>0$

威布尔图

威布尔图有特殊的轴刻度，如果数据集在威布尔分布中，那么点将几乎在一条直线上。考虑到位置参数为 0，直线的最小二乘拟合给出了威布尔分布的形状和尺度参数。

Weibull 分布还具有以下特性：无论形状参数的值如何，尺度参数都会通过 63.2% 的点。在此图中，我们在 y 轴的 63.2% 处绘制了一条水平线。与最小二乘拟合线相交的点的 x 轴分量称为尺度参数。

威布尔图由以下两个轴组成：

纵轴：威布尔累积概率百分比
水平轴：有序故障时间（以 Log10 为单位）。

垂直刻度由公式得出：

$ln(-ln(1-p)); \hspace{.3in} p = \frac{i-0.3}{n+0.4}$

其中，i 是观察的秩。

威布尔图用于回答以下问题：

分布是否遵循 2 参数 Weibull 分布？
2 参数威布尔分布的形状参数的最佳估计？
2 参数威布尔分布的尺度参数的最佳估计？

应用：

威布尔图通常用于以下领域：

在失效分析和可靠性工程中。
保修分析
估计不同合金和植入物的寿命。

执行

在这个实现中，我们还将使用Weibull库以及一些常见的数据科学包（Numpy、Pandas 和 Seaborn）。所有这些库都预装在 Colab 中，可以使用pip install安装在本地环境中。
对于此代码，我们将使用 VANGEL 拉伸强度数据集。数据集可以从这里下载。

Python3

# code
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as ss
import numpy as np
import seaborn as sns
import weibull
 
# generate standard weibull distribution of different Shape parameter
gamma_1  = np.random.weibull(a=1,size=1000)
gamma_half  = np.random.weibull(a=0.5,size=1000)
gamma_5 = np.random.weibull(a=5,size=1000)
gamma_10  = np.random.weibull(a=10,size=1000)
 
# plot different Weibull distribution
sns.set_style('darkgrid')
fig, ax  = plt.subplots(2,2)
sns.histplot(gamma_1,kde=True,ax= ax[0,0] )
ax[0,0].set_title('Gamma = 1 ')
sns.histplot(gamma_half,kde=True, ax= ax[0,1], legend='Y=0.5')
ax[0,1].set_ylim([0,200])
ax[0,1].set_title('Gamma = 0.5 ')
sns.histplot(gamma_5,kde=True, ax= ax[1,0], legend='Y=5')
ax[1,0].set_title('Gamma = 5 ')
sns.histplot(gamma_10,kde=True, ax= ax[1,1], legend='Y=10')
ax[1,1].set_title('Gamma = 10 ')
plt.show()
 
# load dataset
specimen_strength = pd.read_csv('tensile strength.txt', header=None)
specimen_strength.head()
 
# perform weibull analysis
analysis=weibull.Analysis(specimen_strength[0])
 
# Here, we can fit using two method, mle (maximum likelihood)
# and lr (linear regression). Generally mle is better fit
analysis.fit(method='lr')
 
# print shape parameter (Beta) and scale parameter (eta)
print(f'shape Parameter: {analysis.beta: .02f}')
print(f'Scale Parameter: {analysis.eta: .02f}')
 
# print values of different parameters confidence interval
analysis.stats
 
# generate Weibull probplot
analysis.probplot()

标准威布尔分布@不同形状参数值

0
-----------------
0    25.722681
1    24.319706
2    31.007387
3    25.240414
4    35.406261

shape Parameter:  3.55
Scale Parameter:  31.87

r_squared                     0.96102
p_value                   7.32837e-71
fit method          linear regression
confidence                        0.9
beta lower limit               3.1598
beta nominal                  3.55485
beta upper limit               3.9993
eta lower limit                30.284
eta nominal                   31.8747
eta upper limit               33.5488
mean life                     28.7029
median life                   28.7521
b10 life                      16.9246
dtype: object

威布尔概率图

从上图中，我们可以推断出，在给定形状和尺度参数值的情况下，数据非常接近威布尔分布。

参考：

NIST手册