如何在没有计算器的情况下评估三角函数？
三角学被称为处理三角形区域的某些测量的数学分支。三角学的一个常见应用是测量三角形的边和角。为此，我们使用了一些锐角的三角函数。这些函数被定义为包含角度的直角三角形的某些比率。某些角度的三角比值，称为标准角度， 可以几何求得。这些角度是 0°、30° 或 π/6、45° 或 π/4、60° 或 π/3 和 90° 或 π/2。
三角恒等式
在数学中，三角恒等式是涉及三角函数的等式，并且对于定义等式每一边的出现变量的每个值都是正确的。
协同功能身份
- sin θ = cos(90° – θ)
- 秒 θ = cosec(90° – θ)
- tan θ = cot(90° – θ)
补充角恒等式
- sin(π – θ) = sin θ。
- cos(π – θ) = -cos θ
- tan(π – θ) = – tan θ
- cosec(π – θ) = cosec θ
- sec(π – θ) = -sec θ
- cot(π – θ) = -cot θ
45°的三角比值。
设 ABC 为直角等腰三角形，其中∠ABC = 90°，AB = BC。从几何学来看，∠ABC = ∠BAC = 45°。
如果 BC = k，则 AB = k。
∴ AB 2 + BC 2 = AC 2 （由毕达哥拉斯定理）
∴ k 2 + k 2 = AC 2 ，或 AC 2 =2k 2 。
∴ AC = √2 k。
现在，sin 45° = sin C= p/h = AB/AC = k/√2 k = 1/√2
cos 45° = cos C = b/h = BC/AC = k/√2 k = 1/√2
tan 45°= tan C= p/b = AB/BC = k/ k = 1
cosec, sec, cot 分别是 sin, cos, tan 的倒数，其倒数值如下 cosec 45°= √2 ,
秒 45° = √2 和婴儿床 45° = 1。
30° 和 60° 的三角比值
设 ABC 为每边为 k 的等边三角形。根据几何，三角形的每个角度 = 60°。让AD⊥BC。从几何学来看，AD平分∠BAC，也平分边BC。
∴ ∠CAD = ∠BAD = 30° 并且 CD = BD = k/2。
在直角△ADC中，
广告2 + 直流2 = 交流2
AD + k 2 /2 = k 2或 AD = k 2 – k 2 /4 = 3k 2 /4。
AD = √3k/2。
sin 30° = sin∠CAD = p/h = CD/AC = (k/2)/k = 1/2
cos 30° = cos∠CAD = b/h = AD/AC = (√3k/2)/k = √3/2
tan 30° = tan∠CAD = p/b = CD/AD = (k/2)/(√3k/2) = 1/√3
如前所述， cosec 30°、sec 30°、cot 30° 分别是 sin、cos、tan 的倒数，它们的值正好是倒数。
sin 60° = sin∠CAD = p/h = AD/AC = (√3k/2)/k = √3/2
cos 60° = cos∠CAD = b/h = CD/AC = (k/2)/k =1/2
tan 60° = tan∠CAD = p/b = AD/CD = (√3k/2)/(k/2) = √3
此外， cosec 60°、sec 60°、cot 60° 分别是 sin、cos、tan 的倒数，它们的值正好是倒数。
0° 和 90° 的三角比值
在直角三角形中，没有角度的度量可以是 0°，也不能有另一个角度 90°。正如我们所见，θ 的三角比（当 0° < θ < 90° 时）可以从它们的定义中得到。三角比的值如下所示。
sin 90°= 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, sec 0° = 1,
sin 90° = 1，cos 90° = 0，cot 90° = 0，sec 90° = 1。
未定义 0° 和 90° 的其他三角比。
列表值 Angles or Ratios 30° or π/6 45° or π/4 60° or π/3 90° or π/20° sin 0 1/2 1/√2 √3/2 1 cos 1 √3/2 1/√2 1/2 0 tan 0 1/√3 1 √3 Not defined cosec Not defined 2 √2 2/√3 1 sec 1 2/√3 √2 3 Not defined cot Not defined √3 1 1/√3 0
如何在没有计算器的情况下评估三角函数？
众所周知，三角学有四个象限，第一象限都是正三角值，第二象限只有正弦和余弦为正，第三象限只有正切和余弦为正，第四象限是余弦和秒是积极的。 （从右上方逆时针走）。
上面给出的标准值的三角比，以及三角恒等式，将帮助我们在没有计算器的情况下找到三角函数中的角度。如果给出 sin 150° 来找出答案，我们可以这样写或详细说明，
脚步
- 将 sin 150° 化简为 sin(90° + 60°)。
- 此外，我们可以说 sin((1 × 90°) + 60°)
- 现在我们有一个 90° 的奇数系数，sin 变为 cos。
- 此外，它在第一象限中覆盖 90°，并再次向第二象限添加 60° 引线。在第二象限，我们知道正弦是正的。
- 最终结果将是 cos 60°。
注意应记住标准值。
示例问题
问题 1：不使用计算器求 tan 135°。
解决方案：
tan 135° = tan(90° + 45°) = tan((1 × 90°) + 45°) = -cot 45° = -1.
Explanation As here too, an odd coefficient of 90° is present, so tan changes to the cot, and also it’s coming to be in the second quadrant where only sine and cosine are positive and rest all are negative. Hence the result of tan 135° = – cot 45° = -1.
Remember If the coefficient of 90° is odd, sine changes to cos, tan changes to cot, sec changes to cosec. If the coefficient of 90° is even, the function remains as it is and depending on the quadrant, the sign (+ or -) will appear.
Another way to solve, knowing the formulas of addition and subtraction identities such as sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) and cos(x + y) = cos(x) cos (y) – sin(x) sin(y).
问题 2：找到 cos 330°。
解决方案：
cos(270° + 60°) = (cos 270° × cos 60°) – (sin 270°× sin 60°) = {cos(90° × 3) × 1/2} – {sin(90° × 3) × √3/2}
= (-sin 0° × 1/2 ) – (-cos 0°× √3/2) = 0 + √3/2 = √3/2 = 0.866
问题 3：求 120° 秒。
解决方案：
sec 120° = sec(90° + 30°) = -cosec 30° = -2.
Explanation Here, an odd coefficient of 90° is present, so sec changes to cosec, and also it’s coming to be in the second quadrant where only sine and cosec are positive and rest all are negative. Hence, -cosec 30° is obtained.
问题 4：找到罪 390°。
解决方案：
sin 390° = sin(4 × 90° + 30°) = -sin 30° = -1/2 = -0.5 .
Explanation Here, even a coefficient of 90° is present, so sin remains as it is and it’s coming to be in the fourth quadrant where only sec and cos are positive and the rest all are negative. Hence, we get -sin 30°.
问题 5：找到 150° 的婴儿床。
解决方案：
cot 150° = cot(2 × 90° – 30°) = -cot 30° = -√3.
Explanation Here, even a coefficient of 90° is present, so cot remains as it is and it’s coming to be in the second quadrant where only sin and cosec are positive and the rest all are negative. Hence, we get -cot 30°.