二叉树中任意数量节点的最小公共祖先

在二叉树中，给定任意数量的节点，它们的最小公共祖先（Lowest Common Ancestor，LCA）是指最深的（离根节点最远的）同时拥有这些节点的祖先节点。

如下图所示，节点 3 和节点 4 的 LCA 是节点 1，而节点 2 和节点 4 的 LCA 是节点 2。

解法

解法一：递归

最直观的解法是递归。对于当前节点 root，如果其中至少有一个目标节点，则返回 root。否则，递归到它的左子树和右子树，分别记作 left 和 right。如果 left 和 right 都非空，则说明目标节点分别在左右子树上，因此 root 为 LCA；如果 left 或 right 有且仅有一个非空，说明目标节点都在该非空节点的子树中，该非空节点为 LCA；否则，两个子树中均不包含目标节点，返回空。

示例代码如下：

class Solution(object):
    def lowestCommonAncestor(self, root, nodes):
        if not root or root in nodes:
            return root
        left, right = [self.lowestCommonAncestor(child, nodes) for child in (root.left, root.right)]
        return root if left and right else left or right

时间复杂度：每个节点仅被遍历一次，因此时间复杂度为 O(n)，其中 n 是节点数。

空间复杂度：每次递归调用栈的深度不会超过树的高度 H，即 O(H)。最坏情况下树呈链状，H=n，因此空间复杂度为 O(n)。

解法二：存储父节点

上述递归解法从上向下递归查找 LCA。解法二换个思路，从下向上查找 LCA。解法二的前提是，题目中给定的节点之间存在 LCA。如果题目给定的节点之间不存在 LCA，则解法二无法处理。

我们可以先遍历一遍二叉树，用哈希表记录每个节点的父节点，并将所有目标节点存放到集合中。随后，从任意一个目标节点开始，沿着父节点指针不断向上跳，直到到达根节点，并在哈希表中保存已遍历过的所有节点。随后，从另一个目标节点开始，同样不断向上跳，如果碰到在哈希表中已经出现过的节点，则该节点为 LCA。否则，继续向上跳。

示例代码如下：

class Solution(object):
    def lowestCommonAncestor(self, root, nodes):
        parent = {root: None}
        def dfs(node):
            if node.left:
                parent[node.left] = node
                dfs(node.left)
            if node.right:
                parent[node.right] = node
                dfs(node.right)
        dfs(root)

        ancestors = set()
        while nodes:
            node = nodes.pop()
            while node:
                if node in ancestors:
                    return node
                ancestors.add(node)
                node = parent[node]
        return None

时间复杂度：第一次遍历用时 O(n)，随后的查找用时取决于树的高度 H，即 O(H)。最坏情况下树呈链状，H=n，因此时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：哈希表和集合分别存储了所有节点和目标节点，因此空间复杂度为 O(n)。

总结

本文介绍了二叉树中任意数量节点的最小公共祖先问题，给出了两种解法：递归解法和存储父节点解法。递归解法需要从上向下递归查找 LCA，时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。存储父节点解法则需要从下向上查找 LCA，时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。