Moore – Penrose 伪逆|数学

在线性代数伪逆（ $A^{+}$ ) 的矩阵A是逆矩阵的推广。伪逆最常见的用途是计算缺乏唯一解的线性方程组的最佳拟合解。 Moore – Penrose 逆是最广为人知的矩阵伪逆类型。术语广义逆有时用作伪逆的同义词。

让系统给出如下：
$\overrightarrow{y} = A\overrightarrow{x}$

我们知道A和$\overrightarrow{y}$ ，我们想找到$\overrightarrow{x}$ .
在哪里：
$\overrightarrow{x}$和$\overrightarrow{y}$是向量，
A是一个矩阵

如果 A 是方阵，我们进行如下操作：
$\overrightarrow{y} = A\overrightarrow{x}$

$A^{-1}\overrightarrow{y} = A^{-1}A\overrightarrow{x}$

$A^{-1}\overrightarrow{y} = I\overrightarrow{x}$

$A^{-1}\overrightarrow{y} = \overrightarrow{x}$

但是如果 A 不是方阵，我们就不能计算通常的$A^{-1}$ .然而，我们可以形成伪逆。
$A^{+}\equiv pseudoinverse$

如果我们详细了解系统即$\overrightarrow{y} = A\overrightarrow{x}$ ，那么它代表以下方程组：
$a_1_, _1 x_1 + a_1_, _2 x_2 + . . . + a_1_, _n x_n = y_1$

$a_2_, _1 x_1 + a_2_, _2 x_2 + . . . + a_2_, _n x_n = y_2$
. .
. .
. .
$a_m_, _1 x_1 + a_m_, _2 x_2 + . . . + a_m_, _n x_n = y_m$

也可以写成矩阵形式如下：
$\begin{bmatrix} a_1_, _1 & a_1_, _2&.&.&.&a_1_, _n \\ a_2_, _1 & a_2_, _2 &.&.&.&a_2_, _n\\ . & & & & & . \\ . & & & & & . \\ . & & & & & . \\ a_m_, _1 & a_m_, _2 &.&.&.&a_m_, _n\\ \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n\\ \end{bmatrix}$

其中 m > n表示行数大于列数或行数大于变量数。

上述问题的解决方法：
有多种方法可以解决上述问题。一种解决方案涉及摩尔 - 彭罗斯伪逆。我们将摩尔-彭罗斯伪逆写为$A^[+}$ .
我们有$A^{+}A = I$但$AA^{+} \neq I$除非 A 有通常的逆。
所以，为了解决这个问题，我们按照以下步骤进行：
$\overrightarrow{y} = A\overrightarrow{x}$

$A^{+}\overrightarrow{y} \approx A^{+}A\overrightarrow{x}$

$A^{+}\overrightarrow{y} \approx I\overrightarrow{x}$

$A^{+}\overrightarrow{y} \approx \overrightarrow{x}$

这就是我们使用摩尔 - 彭罗斯伪逆求解线性方程的简单方式。 Moore-Penrose 伪逆的推导超出了本文的范围。如果您想了解更多信息，可以访问此链接。这里简单介绍一下计算方法。摩尔 - 彭罗斯伪逆计算为
$A^{+} = (A^{T} A)^{-1} A^{T}$

例子：

考虑以下 3 个线性方程： $x_1 + 3x_2 = 17$$5x_1 + 7x_2 = 19$$11x_1 + 13x_2 = 23$等效地，我们可以将上述方程写成矩阵形式，如下所示： $A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ 11 & 13 \\ \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17\\ 19\\ 23\\ \end{bmatrix}$在我们计算摩尔 - 彭罗斯伪逆之后$A^{+} = (A^{T} A)^{-1} A^{T}$ ， 我们将获得： $A^{+} = \begin{bmatrix} -0.5197&-0.2171&0.2368 \\ 0.4276&0.2039&-0.1316 \\ \end{bmatrix}$检查矩阵乘积$A^{+}A$你会得到单位矩阵 I。 $A^{+}A = I$我们有， $A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}$然后， $A^{+}A\overrightarrow{x} \approx A^{+}\overrightarrow{y}$$\overrightarrow{x} \approx A^{+}\overrightarrow{y}$$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} -0.5197&-0.2171&0.2368 \\ 0.4276&0.2039&-0.1316 \\ \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} 7\\ 11\\ \end{bmatrix}$计算以上计算后，您将得到最终答案$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} -7.51\\ 8.12\\ \end{bmatrix}$

注意： Moore – Penrose 伪逆以最小二乘误差的方式解决问题。一般来说，对于超定问题没有确切的解决方案。因此，如果您交叉检查该解决方案，您将不会得到确切所需的 y，而是 y 的近似值。