矢量投影公式

向量是具有大小和方向的二维对象。向量在几何上可以看作是一条有向线段，箭头指示向量的方向，长度等于向量的大小。从尾部到头部是向量的方向。如果两个向量具有相同的大小和方向，则它们是相同的。这意味着如果我们将一个向量转换为一个新点（不旋转它），我们导出的向量与我们开始时的向量相同。

投影向量

给定向量投射到另一个向量上的阴影的长度是一个向量在另一个向量上的向量投影。它是通过将两个向量的大小乘以它们之间角度的余割来计算的。标量值是矢量投影公式的结果。

公式

向量a和向量b的点积除以向量b的大小，就是向量代数中向量a在向量b上的投影的投影向量公式。点积的结果是一个标量值，向量 b 的大小也是一个标量值。因此，投影向量答案的大小和参数都是向量 b 方向上的标量值。

Projection of Vector a on Vector b = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|b|}$

推导

From the right triangle OAL , cos θ = OL/OA

OL = OA cos θ

⇒ OL = $\vec{a}$ cos θ

OL is the projection vector of vector a on vector b.

We know, $\vec{a}.\vec{b}=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cos θ$

$\vec{a}.\vec{b}=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cos θ\\ \vec{a}.\vec{b}=|\overrightarrow b|(|\overrightarrow a|cos θ)\\\vec{a}.\vec{b}=|\overrightarrow b|OL$

OL = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|b|}$

Hence proved.

示例问题

问题1.求向量的投影$4\hat i + 2\hat j + \hat k$和$5\hat i -3\hat j + 3\hat k$ .

解决方案：

Here, $\vec{a}=4\hat i + 2\hat j + \hat k \\\vec{b}=5\hat i -3\hat j + 3\hat k$.

We know, projection of Vector a on Vector b = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|b|}$

$\dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|\sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}\\=\dfrac{17}{\sqrt{43}}$

问题2.求向量的投影$5\hat i + 4\hat j + \hat k$和$3\hat i + 5\hat j - 2\hat k$ .

解决方案：

Here, $\vec{a}=5\hat i + 4\hat j + \hat k \\\vec{b}=3\hat i + 5\hat j - 2\hat k.$

We know, projection of Vector a on Vector b = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|b|}$

$\dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|\sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}\\=\dfrac{33}{\sqrt{38}}$

问题3.求向量的投影$5\hat i - 4\hat j + \hat k$和$3\hat i - 2\hat j + 4\hat k$ .

解决方案：

Here, $\vec{a}=5\hat i - 4\hat j + \hat k \\\vec{b}=3\hat i - 2\hat j + 4\hat k.$

We know, projection of Vector a on Vector b = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|b|}$

$\dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|\sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}\\=\dfrac{27}{\sqrt{29}}$

问题 4. 求向量 2\hat i – 6\hat j + \hat k 和 8\hat i – 2\hat j + 4\hat k 的投影。

解决方案：

Here, $\vec{a}=2\hat i - 6\hat j + \hat k \\\vec{b}=8\hat i - 2\hat j + 4\hat k$

We know, projection of Vector a on Vector b = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|b|}$

$\dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|\sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}\\=\dfrac{57}{\sqrt{69}}$

问题 5. 求向量 2\hat i – \hat j + 5\hat k 和 4\hat i – \hat j + \hat k 的投影。

解决方案：

Here, $\vec{a}=2\hat i - \hat j + 5\hat k \\\vec{b}=4\hat i - \hat j + \hat k.$

We know, projection of Vector a on Vector b = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|b|}$

$\dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|\sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}\\=\dfrac{27}{\sqrt{29}}$