K中心问题|集合1(贪心近似算法)介绍

什么是K中心问题

K中心问题，是一种在计算几何中广泛使用的问题。其目标是在一个n个点的数据集中，找到k个点作为中心点，使得所有点到离它最近的中心点的距离不超过一个预设的阈值。这个问题实际上就是对于一个图，找到一个k个点的子集，使得这个子集的最大最短距离最小。

贪心近似算法

贪心近似算法是K中心问题中的一种常见解法。贪心的思想是在每一步都选择最优的解，得到全局的最优解。在K中心问题中，贪心的策略是在每一个阶段上选择离未选择的点最远的中心点来扩展。这样选择过后，未选择的点到当前已选择点的距离，就只会变得更短，不可能变得更长了。

贪心近似算法的代码实现

下面是一个Python实现的贪心近似算法样例代码：

import math

class KCenter:
    INF = float('inf')

    # 初始化
    def __init__(self, graph, n, k):
        self.graph = graph
        self.n = n
        self.k = k
        self.centers = []
        self.distances = [KCenter.INF] * self.n
        self.max_distance = 0

    # 获取未覆盖点集合中到已经被选择点中距离最远的点
    def get_next_center(self, uncovered: set):
        max_distance = -KCenter.INF
        next_center = -1
        for i in uncovered:
            distance = min([self.graph[i][j] for j in self.centers])
            if distance > max_distance:
                max_distance = distance
                next_center = i
        return next_center

    # 执行贪心近似算法
    def run(self):
        self.centers.append(0)
        uncovered = set(range(1, self.n))
        for i in range(self.k - 1):
            max_distance = 0
            next_center = self.get_next_center(uncovered)
            self.centers.append(next_center)
            uncovered.remove(next_center)
            for i in uncovered:
                distance = min([self.graph[i][j] for j in self.centers])
                self.distances[i] = distance
                max_distance = max(max_distance, distance)
            self.max_distance = max_distance

    # 获取最终结果
    def get_result(self):
        return self.centers, self.distances, self.max_distance

if __name__ == '__main__':
    graph = [
        [0, 1, 2, 3, 1],
        [1, 0, 1, 2, 2],
        [2, 1, 0, 1, 3],
        [3, 2, 1, 0, 4],
        [1, 2, 3, 4, 0]
    ]
    n = len(graph)
    k = 3
    kc = KCenter(graph, n, k)
    kc.run()
    print(kc.get_result())

贪心近似算法的时间复杂度

在贪心近似算法中，每个点最多只会被遍历一次，因此算法的时间复杂度为$O(n^2k)$，其中n为点的个数，k为中心点数。因此，该算法通常用于小规模问题的求解中。