POSET的元素

先决条件：介绍和关系类型

POSET ，称为部分有序集，根据偏序关系原理工作。当关系R满足以下性质时，称其为偏序关系：

R 是Reflexive ，即如果设置 A ={1,2,3} 那么R ={(1,1), (2,2), (3,3)} 是Reflexive 关系。
R 是反对称的，即如果R包含 (1,2) 则 (2,1) 是不允许的。
R 是可传递的，即如果R包含 (1,2), (2,3)，那么它应该包含 (1,3) 以使其具有传递性。

POSET: If A set ‘A’ following a Partial Ordering Relation ‘R’ then it is known as POSET. It is denoted by [A; R].

注意 -与不对称不同，反对称允许关系中的 (a,a) 或 (b,b) 等自反元素。

Example 1: For a set A = {1,2,3}, check if the following relations are POSET ?

R₁= {(1,1), (2,2), (3,3)}

R₂= {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}

R₃= { }

Explanation: To prove a Partial Order Relation, check Reflexivity, Anti-Symmetry and Transitivity.

R₁⇒ Reflexive: Since (1,1) (2,2) (3,3) are present so it is Reflexive.

Anti-symmetry: It allows reflexive pairs, so it is Anti-symmetric.

Transitive: Reflexive pairs are always Transitive.

R₂⇒ Reflexive: Since (1,1) (2,2) (3,3) are present so it is Reflexive.

Anti-symmetry: For (1,2) there is (2,1) so not Anti-symmetric.

Transitive: There are no such pairs (a,b) (b,c) such that (a,c) is not present.

R₃⇒ Reflexive: NULL sets doesn’t contain either of (1,1) (2,2) (3,3).

Therefore, R₁ is a POSET, but R₂ and R₃ are not.

POSET的元素

最大元素：如果在 POSET/Lattice 中，一个元素与任何其他元素都不相关。或者，简单来说，它是一个没有向外（向上）边缘的元素。在上图中， A、B、F是最大元素。

最小元素：如果在 POSET/Lattice 中，则没有元素与元素相关。或者，简单来说，它是一个没有传入（向下）边缘的元素。在上图中， C、D、E是最小元素。

最小元素

最大元素（Greatest）：如果在一个POSET/Lattice中，它是一个Maximal元素，并且每个元素都与它相关，即点阵的每个元素都应该与这个元素相连。在上图中， E和F是最大元素，但E是唯一的最大元素。

最小元素（Least）：如果在 POSET/Lattice 中，它是一个Minimal元素，并且与其他所有元素相关，即它应该连接到 lattice 的每个元素。在上图中， A和B是 Minimal 元素，但 A 是唯一的 Minimum 元素。

笔记：

最小元素

假设B是集合A的子集。如果 (y,x) ∈ POSET 其中V y ∈ B，则元素 x ∈ A 在 B 的上界。或者我们可以说它是一个元素，其中的每个元素一个子集是相关的。

如果B是集合A 的子集，则元素 x ∈ A 位于 B 的下界 if (x,y) ∈ POSET 其中V y ∈ B。或者我们可以说它是一个相关/连接到的元素子集 B 的每个元素。

也称为加入。上限中的最小（最小）元素。

也称为见面。下限中的最大（最大）元素。