复分析简介
复分析是数学的一个分支，它处理复数、它们的函数和它们的微积分。简单来说，复分析是将实数演算扩展到复域。我们将从微积分中熟悉的连续性、导数和积分的概念扩展到复变量的复函数的情况。在这样做的过程中，我们将遇到分析函数，它们构成了本介绍的核心。事实上，复分析在很大程度上是对解析函数的研究。
复分析的基本成分是解析函数，或者我们在微积分中熟知的可微函数。任何复数z都可以被认为是平面 ( x,y ) 中的一个点，因此z = x+iy，其中i=√-1。以类似的方式，复变量z的任何复函数都可以分成两个函数，如f(z)=u(z)+iv(z)，或f(x,y)=u(x ,y)+iv(x,y)。显然，这样的函数依赖于两个自变量，并且有两个可分离的函数，所以绘制函数需要一个四维空间，这很难想象。
当然，复函数演算的第一个起点是从函数的连续性开始，然后慢慢进入复域的可微性。
连续性
我们从一个相当简单的复值函数开始。假设 f 是实变量的复值函数。这意味着如果 x 是一个实数，f(x) 是一个复数，它可以分解为实部和虚部： f(x) = u(x)+iv(x) ，其中 u 和 v 是实变量的实值函数；也就是你在真正的微积分中熟悉的对象。如果 u 和 v 在 x 0处连续，我们说 f 在 x 0处连续。
复变量的复值函数的连续性是一个重要的性质。如果函数在z接近 z o 时接近值f(z o ) ，则称该函数在点z o处是连续的。由于z位于复平面（也称为 Argand 平面）中，因此它可以从多个方向接近该点。因此，我们需要改进我们的定义以满足新的需求。
形式上，我们说f(z)在z o处是连续的，如果对于任何 ε>0，存在一个 δ>0，使得|f(z)-f(z o )|<ε对于所有|zz o |<δ。因此，只要z在以z o为中心的半径为 δ 的圆盘内（称为 z o的邻域）并且函数接近f(z o ) 的值。
分析性
一旦我们建立了复杂函数连续性的概念，我们就可以深入研究复杂函数的微分。在讨论复函数的微分时，我们会看到这样的函数需要满足一个重要的标准，称为Cauchy-Riemann 方程。如果类比有帮助，我们知道对于一个实函数在给定点有限存在的导数，该函数应该在该点是连续的。复函数的一个类似标准是 Cauchy-Riemann 方程。我们很快就会在下面的讨论中看到证明。
实变量的复值函数可以很容易地区分为f'(x)=u'(x)+iv'(x)，其中f(x)是实变量 x 的复值函数。换句话说，我们线性地扩展了微分运算。这里没有什么新奇的。
但是，当f成为复变量z的函数时，情况会发生变化。我们知道复变量z本身实际上是一对两个实变量x和y 。我们将z绘制为具有有序对 ( x,y ) 的复平面中的一个点，并表示z=x+iy。因此，这带来了一个问题，即如何区分复值函数和复变量。正如人们所预料的那样，我们有一个类似于实数微积分的导数定义：
复杂域中的微分
因此，第一个挑战是如何使 δz 变得非常小。在复平面上，我们可以从多个方向进行。从定义中可以明显看出，函数的导数不得以采用极限的方式改变。否则，每次切换限制时，我们都会得到一个新的导数。事实上，我们正在做的事情是，研究当我们取 δz⇢0，或者换句话说，δx⇢0 和 δy⇢0 时函数f(z)是如何变化的。从本质上讲，我们的导数一定不能改变取极限的顺序。并且改变极限的顺序并不总是保证相同的值（每个数学家都可以编写一个函数来证明这个命题！）。因此，可微性是复杂世界中的一个重要属性。
现在，让我们写f(z)=u(z)+iv(z)或等价的f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) 。
接下来，我们先取δx⇢0，然后取δy⇢0。这相当于沿虚轴取 δz⇢0。
现在，相反，我们先取δy⇢0，然后取δx⇢0。这相当于沿实轴取 δz⇢0。
当且仅当 时，这两个表达式一致：
柯西-黎曼方程
在这里，我们得到了Cauchy-Riemann 方程。
因此，要检查函数f(z)在z o =x o +iy o点是否可微，我们需要查看它们是否满足 Cauchy-Riemann 方程。然后它们的导数由为f'(z o ) 获得的任一表达式给出。
可以观察到，复杂世界中的微分确实不容易，而且有很多函数不是真正可微的，即使是最简单的（尝试微分 z*，z 的复共轭）。
我们可以说一个函数在 z o的邻域内是解析的或全纯的，如果它在该邻域内是可微的。在整个复平面上解析的函数称为整函数。
重要的是要认识到，与可微性不同，解析性不是函数在某个点上的属性，而是在一组开放点上的属性。这样做的原因是能够从有趣的函数类中消除可能在某个点可微但在其他地方无法微分的函数。虽然这在微积分中很少见，但对于复变量的复值函数来说却是很常见的情况。例如，考虑函数f(z) = |z| 2 .该函数有 u(x, y) = x 2 + y 2和 v(x, y) = 0。因此，Cauchy-Riemann 方程仅在复平面的原点处满足。