检查给定点是否在三角形内

在计算机图形学中，常常需要判断一个点是否在三角形内。这个问题的解决方法有很多，其中之一是使用向量叉积的方法。

• 算法思路

假设给定一个三角形ABC和一个点P(x,y)，要判断点P是否在三角形ABC内部。我们可以先将点P和三角形的三个顶点进行向量叉积的运算，得到三个向量：

$vec{PA}=(x-a_{x}, y-a_{y})$

$vec{PB}=(x-b_{x}, y-b_{y})$

$vec{PC}=(x-c_{x}, y-c_{y})$

然后判断这三个向量的方向是否相同，如果相同，点P就在三角形ABC内部。判断的方法如下：

$vec{PA}×vec{PB}≥0$

$vec{PB}×vec{PC}≥0$

$vec{PC}×vec{PA}≥0$

其中，×表示向量叉积。

• 代码实现

下面是一个简单的 Python 实现：

def is_point_in_triangle(point, triangle):
    ax, ay = triangle[0]
    bx, by = triangle[1]
    cx, cy = triangle[2]
    x, y = point

    vec_pa = [x - ax, y - ay]
    vec_pb = [x - bx, y - by]
    vec_pc = [x - cx, y - cy]

    cp_ab = vec_pa[0] * vec_pb[1] - vec_pa[1] * vec_pb[0]
    cp_bc = vec_pb[0] * vec_pc[1] - vec_pb[1] * vec_pc[0]
    cp_ca = vec_pc[0] * vec_pa[1] - vec_pc[1] * vec_pa[0]

    return (cp_ab >= 0 and cp_bc >= 0 and cp_ca >= 0) or (cp_ab <= 0 and cp_bc <= 0 and cp_ca <= 0)

• 使用示例

该函数接受两个参数：点的坐标和三角形的三个顶点坐标。返回值为 True 表示点在三角形内部，返回值为 False 表示点在三角形外部。

下面是一个使用示例：

assert is_point_in_triangle([0, 0], [[0, 1], [1, 0], [0, -1]]) == False
assert is_point_in_triangle([0.5, 0.5], [[0, 1], [1, 0], [0, -1]]) == True

这个例子中，第一个断言将会通过，第二个断言也将会通过。很明显，点 [0, 0] 不在三角形 [0, 1], [1, 0], [0, -1] 内部，而点 [0.5, 0.5] 则在三角形内部。