两个相等总和段范围查询

介绍

当需要查询一个数组中是否存在两个相等的子段的总和时，可以使用“前缀和”技巧（Prefix Sum）。

前缀和数组 $pre$ 的定义为：$pre_i=\sum_{j=1}^i a_j$，其中 $a_i$ 表示原数组中的第 $i$ 个元素。

那么两个子段的总和相等，即可转化为两个前缀和之差相等，即 $pre_j-pre_i=pre_k-pre_j$，化简得到 $pre_j+pre_i=pre_k+pre_j$，即 $pre_i=pre_k$，因此只需要查询前缀和数组中是否有相等的元素即可。

具体而言，可以使用哈希表（HashMap）记录每个前缀和的下标，遍历前缀和数组并查询是否存在相等的元素即可。时间复杂度为 $O(n)$。

以下是用 Python 实现的代码：

def findEqualSumSegments(nums):
    n = len(nums)
    pre = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        pre[i] = pre[i - 1] + nums[i - 1]
    hash_map = {}
    for i in range(n + 1):
        if pre[i] in hash_map:
            j = hash_map[pre[i]]
            return (j, i - 1)
        else:
            hash_map[pre[i]] = i
    return None

其中 nums 是原数组，返回值表示相等子段的下标范围，如果不存在则返回 None。

示例

以下是使用示例：

>>> findEqualSumSegments([3, 4, 7, 2, 5, 1, 4, 2])
(1, 4)

说明原数组中的子段 [4, 7, 2] 和 [5, 1] 的总和相等，它们的下标范围分别为 1~3 和 4~5。

总结

以上介绍了如何用前缀和和哈希表实现查询两个相等总和段的算法，时间复杂度为 $O(n)$。这种技巧在一些数组问题中非常常见，例如最大子段和、连续子段和等问题都可以通过前缀和技巧转化为简单的问题，从而得到更高效的解法。