用N堆箱子找到游戏的赢家

有N堆箱子，每堆箱子里有一定数量的石子，两个人轮流取走箱子中的石子，每次只能取走某一堆箱子中的任意数量的石子或者取走同一堆箱子中的至少一个石子并比这些石子的数量乘以2加1。最后取完所有石子的人获胜。请问如果两个人都足够聪明，最后谁能获胜？

解析

这个游戏的博弈树十分复杂，可以用动态规划（DP）的方式来解决。我们定义$dp[i][j]$为当前剩余的第$i$堆箱子中的$j$颗石子的情况下，先手是否能获胜。显然，$dp[i][0]=false$，即箱子中没有石子的情况下，先手必败。

对于每一堆箱子，先手可以选择把它全部取走（即转移$dp[i][j]=dp[i][0]$），也可以选择取至少一个石子并使剩下的石子数量是原来的两倍加1（即转移$dp[i][j]=dp[i][2*j+1]$）。而在取完一堆箱子之后，后手只能选择取走完全相同的石子数量，否则先手必定能获胜。

按这样的思路来计算DP，最后可以得到$dp[1][1]$作为答案。如果$dp[1][1]=true$，则先手必胜，否则后手必胜。

代码实现

def winner(n: int, boxes: List[int]) -> bool:
    dp = [[False] * (1001) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = False
        for j in range(1, boxes[i - 1] + 1):
            dp[i][j] = not dp[i][0]
        for j in range(boxes[i - 1] + 1, 1001):
            dp[i][j] = dp[i][2 * j + 1]

    return dp[1][1]

该函数接受两个参数：$n$表示堆数，$boxes$为一个长度为$n$的列表，表示每一堆箱子中的石子数量。该函数返回一个布尔值，表示先手是否能获胜。