偏序和晶格 (Set-2)

简介

偏序和晶格广泛应用于计算机科学中的各个领域，如图形学、数据库、网络等等。偏序是指一个元素集合中存在的一个“小于等于”关系，而晶格则是带有这种关系的元素集合。

偏序

定义

偏序是指一个非空集合P上的一个关系R，如果满足以下条件：

1. 自反性：对于P中的所有元素a，aRa；
2. 反对称性：对于P中的任意不相等的元素a和b，如果aRb，那么不可能存在bRa；
3. 传递性：对于P中的任意元素a、b和c，如果aRb且bRc，那么aRc。

示例

下面是一个包含4个元素的偏序集合：

在这个偏序集合中，元素集合是{∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}，关系R是包含关系，即aRb表示a是b的子集。以此为例，这个偏序集合的自反性、反对称性、传递性都得到了满足。

晶格

定义

一个晶格L是指一个非空集合L上的一个偏序关系≤，满足以下性质：

1. L中的任意两个元素a和b都有一个最小公共上界和最大公共下界；
2. 任意两个元素的最小公共上界和最大公共下界都在L中。

示例

下面是一个包含4个元素的晶格：

在这个晶格中，元素集合是{0, 1, 2, 3}，偏序关系是整数大小关系，即a ≤ b表示a小于等于b。其中，最小公共上界和最大公共下界是1和0。

应用

图形学

在图形学中，晶格可以用于网格化和采样空间。例如，三角剖分和曲面重建中的网格可以被视为一个晶格。

数据库

在数据库中，偏序可以用于定义约束，如外键约束和主键约束，这些约束可以被视为某种形式的偏序。晶格在关系数据库模型中也有广泛的应用。

网络

在网络中，偏序可以被用于定义路由规则和拓扑结构，晶格可以被用于描述分层网络结构。

总结

偏序和晶格是计算机科学中常用的数学概念，广泛应用于各个领域。偏序是指一个元素集合中存在的一个“小于等于”关系，而晶格则是带有这种关系的元素集合。偏序可以用于定义约束、路由规则和拓扑结构等等，而晶格可以用于图形学的网格化和采样空间等。